Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76695 / 61589
↖ ↑ ↗
← N 10.776650°
E 30.649109°		 ← 300.04 m → N 10.776650°
E 30.651855°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
N 10.773952°
E 30.649109°		 ← 300.04 m →
90 015 m²		 N 10.773952°
E 30.651855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585140228271484 y=0.469890594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585140228271484 × 217)
    floor (0.585140228271484 × 131072)
    floor (76695.5)     		tx = 76695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469890594482422 × 217)
    floor (0.469890594482422 × 131072)
    floor (61589.5)     		ty = 61589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76695 / 61589 ti = "17/76695/61589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76695/61589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76695 ÷ 217
    76695 ÷ 131072     		x = 0.585136413574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61589 ÷ 217
    61589 ÷ 131072     		y = 0.469886779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585136413574219 × 2 - 1) × π
    0.170272827148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.53492786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469886779785156 × 2 - 1) × π
    0.0602264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.189206942800362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53492786} λ = 0.53492786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189206942800362))-π/2
    2×atan(1.20829097372972)-π/2
    2×0.879442178802186-π/2
    1.75888435760437-1.57079632675     		φ = 0.18808803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53492786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.649109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18808803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.776650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76695 KachelY 61589 0.53492786 0.18808803 30.649109 10.776650
    Oben rechts KachelX + 1 76696 KachelY 61589 0.53497580 0.18808803 30.651855 10.776650
    Unten links KachelX 76695 KachelY + 1 61590 0.53492786 0.18804094 30.649109 10.773952
    Unten rechts KachelX + 1 76696 KachelY + 1 61590 0.53497580 0.18804094 30.651855 10.773952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18808803-0.18804094) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18808803-0.18804094) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53492786-0.53497580) × cos(0.18808803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.982363532517524 × 6371000     		do = 300.039108867982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53492786-0.53497580) × cos(0.18804094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.982372336363079 × 6371000     		du = 300.041797789026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18808803)-sin(0.18804094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982363532517524-0.982372336363079)×R²
    abs(0.53497580-0.53492786)×8.80384555512759e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.80384555512759e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.80384555512759e-06×40589641000000     		ar = 90015.2534355245m²