Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76695 / 59527
↖ ↑ ↗
← N 16.280597°
E 30.649109°		 ← 293.18 m → N 16.280597°
E 30.651855°		 →
↑
293.19 m
↓
↑
293.19 m
↓
N 16.277960°
E 30.649109°		 ← 293.18 m →
85 959 m²		 N 16.277960°
E 30.651855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585140228271484 y=0.454158782958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585140228271484 × 217)
    floor (0.585140228271484 × 131072)
    floor (76695.5)     		tx = 76695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454158782958984 × 217)
    floor (0.454158782958984 × 131072)
    floor (59527.5)     		ty = 59527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76695 / 59527 ti = "17/76695/59527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76695/59527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76695 ÷ 217
    76695 ÷ 131072     		x = 0.585136413574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59527 ÷ 217
    59527 ÷ 131072     		y = 0.454154968261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585136413574219 × 2 - 1) × π
    0.170272827148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.53492786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454154968261719 × 2 - 1) × π
    0.0916900634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.288052829816917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53492786} λ = 0.53492786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288052829816917))-π/2
    2×atan(1.33382776813886)-π/2
    2×0.92747317229606-π/2
    1.85494634459212-1.57079632675     		φ = 0.28415002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53492786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.649109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28415002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.280597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76695 KachelY 59527 0.53492786 0.28415002 30.649109 16.280597
    Oben rechts KachelX + 1 76696 KachelY 59527 0.53497580 0.28415002 30.651855 16.280597
    Unten links KachelX 76695 KachelY + 1 59528 0.53492786 0.28410400 30.649109 16.277960
    Unten rechts KachelX + 1 76696 KachelY + 1 59528 0.53497580 0.28410400 30.651855 16.277960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28415002-0.28410400) × R
    4.601999999998e-05 × 6371000     		dl = 293.193419999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28415002-0.28410400) × R
    4.601999999998e-05 × 6371000     		dr = 293.193419999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53492786-0.53497580) × cos(0.28415002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95990028417764 × 6371000     		do = 293.178254620974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53492786-0.53497580) × cos(0.28410400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959913184484216 × 6371000     		du = 293.182194706656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28415002)-sin(0.28410400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95990028417764-0.959913184484216)×R²
    abs(0.53497580-0.53492786)×1.2900306575192e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2900306575192e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2900306575192e-05×40589641000000     		ar = 85958.5127606928m²