Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76693 / 59533
↖ ↑ ↗
← N 16.264778°
E 30.643616°		 ← 293.20 m → N 16.264778°
E 30.646363°		 →
↑
293.19 m
↓
↑
293.19 m
↓
N 16.262141°
E 30.643616°		 ← 293.21 m →
85 965 m²		 N 16.262141°
E 30.646363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585124969482422 y=0.454204559326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585124969482422 × 217)
    floor (0.585124969482422 × 131072)
    floor (76693.5)     		tx = 76693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454204559326172 × 217)
    floor (0.454204559326172 × 131072)
    floor (59533.5)     		ty = 59533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76693 / 59533 ti = "17/76693/59533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76693/59533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76693 ÷ 217
    76693 ÷ 131072     		x = 0.585121154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59533 ÷ 217
    59533 ÷ 131072     		y = 0.454200744628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585121154785156 × 2 - 1) × π
    0.170242309570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.53483199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454200744628906 × 2 - 1) × π
    0.0915985107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.287765208419197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53483199} λ = 0.53483199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.287765208419197))-π/2
    2×atan(1.33344418589774)-π/2
    2×0.927335122801474-π/2
    1.85467024560295-1.57079632675     		φ = 0.28387392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53483199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.643616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28387392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.264778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76693 KachelY 59533 0.53483199 0.28387392 30.643616 16.264778
    Oben rechts KachelX + 1 76694 KachelY 59533 0.53487993 0.28387392 30.646363 16.264778
    Unten links KachelX 76693 KachelY + 1 59534 0.53483199 0.28382790 30.643616 16.262141
    Unten rechts KachelX + 1 76694 KachelY + 1 59534 0.53487993 0.28382790 30.646363 16.262141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28387392-0.28382790) × R
    4.601999999998e-05 × 6371000     		dl = 293.193419999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28387392-0.28382790) × R
    4.601999999998e-05 × 6371000     		dr = 293.193419999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53483199-0.53487993) × cos(0.28387392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95997764992087 × 6371000     		do = 293.20188411035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53483199-0.53487993) × cos(0.28382790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959990538030261 × 6371000     		du = 293.205820470698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28387392)-sin(0.28382790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95997764992087-0.959990538030261)×R²
    abs(0.53487993-0.53483199)×1.28881093915956e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.28881093915956e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.28881093915956e-05×40589641000000     		ar = 85965.440225457m²