Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76691 / 59539
↖ ↑ ↗
← N 16.248957°
E 30.638123°		 ← 293.16 m → N 16.248957°
E 30.640869°		 →
↑
293.19 m
↓
↑
293.19 m
↓
N 16.246320°
E 30.638123°		 ← 293.17 m →
85 954 m²		 N 16.246320°
E 30.640869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585109710693359 y=0.454250335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585109710693359 × 217)
    floor (0.585109710693359 × 131072)
    floor (76691.5)     		tx = 76691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454250335693359 × 217)
    floor (0.454250335693359 × 131072)
    floor (59539.5)     		ty = 59539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76691 / 59539 ti = "17/76691/59539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76691/59539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76691 ÷ 217
    76691 ÷ 131072     		x = 0.585105895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59539 ÷ 217
    59539 ÷ 131072     		y = 0.454246520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585105895996094 × 2 - 1) × π
    0.170211791992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.53473612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454246520996094 × 2 - 1) × π
    0.0915069580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.287477587021477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53473612} λ = 0.53473612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.287477587021477))-π/2
    2×atan(1.33306071396722)-π/2
    2×0.927197062185723-π/2
    1.85439412437145-1.57079632675     		φ = 0.28359780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53473612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.638123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28359780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.248957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76691 KachelY 59539 0.53473612 0.28359780 30.638123 16.248957
    Oben rechts KachelX + 1 76692 KachelY 59539 0.53478405 0.28359780 30.640869 16.248957
    Unten links KachelX 76691 KachelY + 1 59540 0.53473612 0.28355178 30.638123 16.246320
    Unten rechts KachelX + 1 76692 KachelY + 1 59540 0.53478405 0.28355178 30.640869 16.246320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28359780-0.28355178) × R
    4.60200000000355e-05 × 6371000     		dl = 293.193420000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28359780-0.28355178) × R
    4.60200000000355e-05 × 6371000     		dr = 293.193420000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53473612-0.53478405) × cos(0.28359780) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.960054948080072 × 6371000     		do = 293.164327856776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53473612-0.53478405) × cos(0.28355178) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.960067823990414 × 6371000     		du = 293.168259670896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28359780)-sin(0.28355178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960054948080072-0.960067823990414)×R²
    abs(0.53478405-0.53473612)×1.28759103418252e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.28759103418252e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.28759103418252e-05×40589641000000     		ar = 85954.4283125884m²