Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76690 / 58418
↖ ↑ ↗
← N 19.181490°
E 30.635376°		 ← 288.47 m → N 19.181490°
E 30.638123°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
N 19.178895°
E 30.635376°		 ← 288.47 m →
83 218 m²		 N 19.178895°
E 30.638123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585102081298828 y=0.445697784423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585102081298828 × 217)
    floor (0.585102081298828 × 131072)
    floor (76690.5)     		tx = 76690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445697784423828 × 217)
    floor (0.445697784423828 × 131072)
    floor (58418.5)     		ty = 58418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76690 / 58418 ti = "17/76690/58418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76690/58418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76690 ÷ 217
    76690 ÷ 131072     		x = 0.585098266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58418 ÷ 217
    58418 ÷ 131072     		y = 0.445693969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585098266601562 × 2 - 1) × π
    0.170196533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.53468818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445693969726562 × 2 - 1) × π
    0.108612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.34121485149556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53468818} λ = 0.53468818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34121485149556))-π/2
    2×atan(1.40665543042103)-π/2
    2×0.952788237714146-π/2
    1.90557647542829-1.57079632675     		φ = 0.33478015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53468818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.635376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33478015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.181490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76690 KachelY 58418 0.53468818 0.33478015 30.635376 19.181490
    Oben rechts KachelX + 1 76691 KachelY 58418 0.53473612 0.33478015 30.638123 19.181490
    Unten links KachelX 76690 KachelY + 1 58419 0.53468818 0.33473487 30.635376 19.178895
    Unten rechts KachelX + 1 76691 KachelY + 1 58419 0.53473612 0.33473487 30.638123 19.178895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33478015-0.33473487) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dl = 288.478879999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33478015-0.33473487) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dr = 288.478879999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53468818-0.53473612) × cos(0.33478015) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.944482566710483 × 6371000     		do = 288.469286855128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53468818-0.53473612) × cos(0.33473487) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.944497443008481 × 6371000     		du = 288.473830459452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33478015)-sin(0.33473487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944482566710483-0.944497443008481)×R²
    abs(0.53473612-0.53468818)×1.48762979976791e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.48762979976791e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.48762979976791e-05×40589641000000     		ar = 83217.9521674303m²