Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7669 / 4275
↖ ↑ ↗
← N 64.895589°
W 11.491699°		 ← 1 036.61 m → N 64.895589°
W 11.469726°		 →
↑
1 036.75 m
↓
↑
1 036.75 m
↓
N 64.886265°
W 11.491699°		 ← 1 036.97 m →
1 074 893 m²		 N 64.886265°
W 11.469726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468109130859375 y=0.260955810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468109130859375 × 214)
    floor (0.468109130859375 × 16384)
    floor (7669.5)     		tx = 7669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260955810546875 × 214)
    floor (0.260955810546875 × 16384)
    floor (4275.5)     		ty = 4275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7669 / 4275 ti = "14/7669/4275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7669/4275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7669 ÷ 214
    7669 ÷ 16384     		x = 0.46807861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4275 ÷ 214
    4275 ÷ 16384     		y = 0.26092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46807861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20056799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26092529296875 × 2 - 1) × π
    0.4781494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50215068649408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20056799} λ = -0.20056799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50215068649408))-π/2
    2×atan(4.49133815084659)-π/2
    2×1.35171901545874-π/2
    2.70343803091748-1.57079632675     		φ = 1.13264170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20056799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.491699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13264170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.895589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7669 KachelY 4275 -0.20056799 1.13264170 -11.491699 64.895589
    Oben rechts KachelX + 1 7670 KachelY 4275 -0.20018449 1.13264170 -11.469726 64.895589
    Unten links KachelX 7669 KachelY + 1 4276 -0.20056799 1.13247897 -11.491699 64.886265
    Unten rechts KachelX + 1 7670 KachelY + 1 4276 -0.20018449 1.13247897 -11.469726 64.886265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13264170-1.13247897) × R
    0.00016273 × 6371000     		dl = 1036.75283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13264170-1.13247897) × R
    0.00016273 × 6371000     		dr = 1036.75283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20056799--0.20018449) × cos(1.13264170) × R
    0.000383500000000009 × 0.424269136289629 × 6371000     		do = 1036.60765891004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20056799--0.20018449) × cos(1.13247897) × R
    0.000383500000000009 × 0.424416488567418 × 6371000     		du = 1036.96768156229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13264170)-sin(1.13247897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424269136289629-0.424416488567418)×R²
    abs(-0.20018449--0.20056799)×0.000147352277788393×R²
    0.000383500000000009×0.000147352277788393×6371000²
    0.000383500000000009×0.000147352277788393×40589641000000     		ar = 1074892.55359911m²