Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76687 / 61581
↖ ↑ ↗
← N 10.798235°
E 30.627136°		 ← 299.95 m → N 10.798235°
E 30.629883°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
N 10.795537°
E 30.627136°		 ← 299.96 m →
89 990 m²		 N 10.795537°
E 30.629883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585079193115234 y=0.469829559326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585079193115234 × 217)
    floor (0.585079193115234 × 131072)
    floor (76687.5)     		tx = 76687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469829559326172 × 217)
    floor (0.469829559326172 × 131072)
    floor (61581.5)     		ty = 61581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76687 / 61581 ti = "17/76687/61581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76687/61581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76687 ÷ 217
    76687 ÷ 131072     		x = 0.585075378417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61581 ÷ 217
    61581 ÷ 131072     		y = 0.469825744628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585075378417969 × 2 - 1) × π
    0.170150756835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.53454437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469825744628906 × 2 - 1) × π
    0.0603485107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.189590437997322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53454437} λ = 0.53454437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189590437997322))-π/2
    2×atan(1.20875443637684)-π/2
    2×0.879630537892548-π/2
    1.7592610757851-1.57079632675     		φ = 0.18846475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53454437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.627136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18846475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.798235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76687 KachelY 61581 0.53454437 0.18846475 30.627136 10.798235
    Oben rechts KachelX + 1 76688 KachelY 61581 0.53459230 0.18846475 30.629883 10.798235
    Unten links KachelX 76687 KachelY + 1 61582 0.53454437 0.18841766 30.627136 10.795537
    Unten rechts KachelX + 1 76688 KachelY + 1 61582 0.53459230 0.18841766 30.629883 10.795537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18846475-0.18841766) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18846475-0.18841766) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53454437-0.53459230) × cos(0.18846475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.982293023333771 × 6371000     		do = 299.954991660221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53454437-0.53459230) × cos(0.18841766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.982301844605658 × 6371000     		du = 299.957685341712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18846475)-sin(0.18841766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982293023333771-0.982301844605658)×R²
    abs(0.53459230-0.53454437)×8.8212718865055e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.8212718865055e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.8212718865055e-06×40589641000000     		ar = 89990.0181133087m²