Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76687 / 58416
↖ ↑ ↗
← N 19.186678°
E 30.627136°		 ← 288.40 m → N 19.186678°
E 30.629883°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
N 19.184083°
E 30.627136°		 ← 288.40 m →
83 198 m²		 N 19.184083°
E 30.629883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585079193115234 y=0.445682525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585079193115234 × 217)
    floor (0.585079193115234 × 131072)
    floor (76687.5)     		tx = 76687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445682525634766 × 217)
    floor (0.445682525634766 × 131072)
    floor (58416.5)     		ty = 58416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76687 / 58416 ti = "17/76687/58416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76687/58416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76687 ÷ 217
    76687 ÷ 131072     		x = 0.585075378417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58416 ÷ 217
    58416 ÷ 131072     		y = 0.4456787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585075378417969 × 2 - 1) × π
    0.170150756835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.53454437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    0.108642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3413107252948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53454437} λ = 0.53454437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3413107252948))-π/2
    2×atan(1.40679029828641)-π/2
    2×0.952833512567007-π/2
    1.90566702513401-1.57079632675     		φ = 0.33487070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53454437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.627136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33487070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.186678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76687 KachelY 58416 0.53454437 0.33487070 30.627136 19.186678
    Oben rechts KachelX + 1 76688 KachelY 58416 0.53459230 0.33487070 30.629883 19.186678
    Unten links KachelX 76687 KachelY + 1 58417 0.53454437 0.33482542 30.627136 19.184083
    Unten rechts KachelX + 1 76688 KachelY + 1 58417 0.53459230 0.33482542 30.629883 19.184083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33487070-0.33482542) × R
    4.52800000000364e-05 × 6371000     		dl = 288.478880000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33487070-0.33482542) × R
    4.52800000000364e-05 × 6371000     		dr = 288.478880000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53454437-0.53459230) × cos(0.33487070) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944452811591632 × 6371000     		do = 288.400027787005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53454437-0.53459230) × cos(0.33482542) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944467691762076 × 6371000     		du = 288.404571626058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33487070)-sin(0.33482542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944452811591632-0.944467691762076)×R²
    abs(0.53459230-0.53454437)×1.48801704440427e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48801704440427e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48801704440427e-05×40589641000000     		ar = 83197.9724229893m²