Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7668 / 9579
↖ ↑ ↗
← S 29.132970°
W 11.513672°		 ← 2 134.13 m → S 29.132970°
W 11.491699°		 →
↑
2 133.97 m
↓
↑
2 133.97 m
↓
S 29.152161°
W 11.513672°		 ← 2 133.73 m →
4 553 735 m²		 S 29.152161°
W 11.491699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468048095703125 y=0.584686279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468048095703125 × 214)
    floor (0.468048095703125 × 16384)
    floor (7668.5)     		tx = 7668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584686279296875 × 214)
    floor (0.584686279296875 × 16384)
    floor (9579.5)     		ty = 9579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7668 / 9579 ti = "14/7668/9579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7668/9579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7668 ÷ 214
    7668 ÷ 16384     		x = 0.468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9579 ÷ 214
    9579 ÷ 16384     		y = 0.58465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.06396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20095148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1693115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.531907838184143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20095148} λ = -0.20095148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531907838184143))-π/2
    2×atan(0.587483077176796)-π/2
    2×0.53116503856959-π/2
    1.06233007713918-1.57079632675     		φ = -0.50846625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20095148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50846625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.132970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7668 KachelY 9579 -0.20095148 -0.50846625 -11.513672 -29.132970
    Oben rechts KachelX + 1 7669 KachelY 9579 -0.20056799 -0.50846625 -11.491699 -29.132970
    Unten links KachelX 7668 KachelY + 1 9580 -0.20095148 -0.50880120 -11.513672 -29.152161
    Unten rechts KachelX + 1 7669 KachelY + 1 9580 -0.20056799 -0.50880120 -11.491699 -29.152161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50846625--0.50880120) × R
    0.000334949999999945 × 6371000     		dl = 2133.96644999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50846625--0.50880120) × R
    0.000334949999999945 × 6371000     		dr = 2133.96644999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20095148--0.20056799) × cos(-0.50846625) × R
    0.000383489999999986 × 0.873492222687487 × 6371000     		do = 2134.12911741997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20095148--0.20056799) × cos(-0.50880120) × R
    0.000383489999999986 × 0.873329107269294 × 6371000     		du = 2133.73059141776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50846625)-sin(-0.50880120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873492222687487-0.873329107269294)×R²
    abs(-0.20056799--0.20095148)×0.000163115418192583×R²
    0.000383489999999986×0.000163115418192583×6371000²
    0.000383489999999986×0.000163115418192583×40589641000000     		ar = 4553734.7585569m²