Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7668 / 4270
↖ ↑ ↗
← N 64.942160°
W 11.513672°		 ← 1 034.78 m → N 64.942160°
W 11.491699°		 →
↑
1 034.97 m
↓
↑
1 034.97 m
↓
N 64.932853°
W 11.513672°		 ← 1 035.14 m →
1 071 153 m²		 N 64.932853°
W 11.491699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468048095703125 y=0.260650634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468048095703125 × 214)
    floor (0.468048095703125 × 16384)
    floor (7668.5)     		tx = 7668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260650634765625 × 214)
    floor (0.260650634765625 × 16384)
    floor (4270.5)     		ty = 4270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7668 / 4270 ti = "14/7668/4270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7668/4270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7668 ÷ 214
    7668 ÷ 16384     		x = 0.468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4270 ÷ 214
    4270 ÷ 16384     		y = 0.2606201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.06396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20095148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2606201171875 × 2 - 1) × π
    0.478759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50406816247888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20095148} λ = -0.20095148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50406816247888))-π/2
    2×atan(4.4999584458536)-π/2
    2×1.3521254254145-π/2
    2.70425085082901-1.57079632675     		φ = 1.13345452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20095148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13345452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.942160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7668 KachelY 4270 -0.20095148 1.13345452 -11.513672 64.942160
    Oben rechts KachelX + 1 7669 KachelY 4270 -0.20056799 1.13345452 -11.491699 64.942160
    Unten links KachelX 7668 KachelY + 1 4271 -0.20095148 1.13329207 -11.513672 64.932853
    Unten rechts KachelX + 1 7669 KachelY + 1 4271 -0.20056799 1.13329207 -11.491699 64.932853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13345452-1.13329207) × R
    0.000162449999999925 × 6371000     		dl = 1034.96894999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13345452-1.13329207) × R
    0.000162449999999925 × 6371000     		dr = 1034.96894999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20095148--0.20056799) × cos(1.13345452) × R
    0.000383489999999986 × 0.42353295833346 × 6371000     		do = 1034.78198785273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20095148--0.20056799) × cos(1.13329207) × R
    0.000383489999999986 × 0.423680113063164 × 6371000     		du = 1035.14151846476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13345452)-sin(1.13329207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42353295833346-0.423680113063164)×R²
    abs(-0.20056799--0.20095148)×0.000147154729704502×R²
    0.000383489999999986×0.000147154729704502×6371000²
    0.000383489999999986×0.000147154729704502×40589641000000     		ar = 1071153.28131194m²