Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76676 / 59508
↖ ↑ ↗
← N 16.330683°
E 30.596924°		 ← 293.10 m → N 16.330683°
E 30.599670°		 →
↑
293.07 m
↓
↑
293.07 m
↓
N 16.328047°
E 30.596924°		 ← 293.11 m →
85 899 m²		 N 16.328047°
E 30.599670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584995269775391 y=0.454013824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584995269775391 × 217)
    floor (0.584995269775391 × 131072)
    floor (76676.5)     		tx = 76676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454013824462891 × 217)
    floor (0.454013824462891 × 131072)
    floor (59508.5)     		ty = 59508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76676 / 59508 ti = "17/76676/59508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76676/59508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76676 ÷ 217
    76676 ÷ 131072     		x = 0.584991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59508 ÷ 217
    59508 ÷ 131072     		y = 0.454010009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584991455078125 × 2 - 1) × π
    0.16998291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53401706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454010009765625 × 2 - 1) × π
    0.09197998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.288963630909699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53401706} λ = 0.53401706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288963630909699))-π/2
    2×atan(1.33504317333983)-π/2
    2×0.92791025555075-π/2
    1.8558205111015-1.57079632675     		φ = 0.28502418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53401706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.596924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28502418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.330683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76676 KachelY 59508 0.53401706 0.28502418 30.596924 16.330683
    Oben rechts KachelX + 1 76677 KachelY 59508 0.53406500 0.28502418 30.599670 16.330683
    Unten links KachelX 76676 KachelY + 1 59509 0.53401706 0.28497818 30.596924 16.328047
    Unten rechts KachelX + 1 76677 KachelY + 1 59509 0.53406500 0.28497818 30.599670 16.328047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28502418-0.28497818) × R
    4.59999999999905e-05 × 6371000     		dl = 293.065999999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28502418-0.28497818) × R
    4.59999999999905e-05 × 6371000     		dr = 293.065999999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53401706-0.53406500) × cos(0.28502418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959654853989686 × 6371000     		do = 293.103293924199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53401706-0.53406500) × cos(0.28497818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959667787284535 × 6371000     		du = 293.107244085349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28502418)-sin(0.28497818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959654853989686-0.959667787284535)×R²
    abs(0.53406500-0.53401706)×1.29332948488603e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29332948488603e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29332948488603e-05×40589641000000     		ar = 85899.1887812473m²