Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7667 / 4276
↖ ↑ ↗
← N 64.886265°
W 11.535645°		 ← 1 036.97 m → N 64.886265°
W 11.513672°		 →
↑
1 037.14 m
↓
↑
1 037.14 m
↓
N 64.876938°
W 11.535645°		 ← 1 037.33 m →
1 075 662 m²		 N 64.876938°
W 11.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467987060546875 y=0.261016845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467987060546875 × 214)
    floor (0.467987060546875 × 16384)
    floor (7667.5)     		tx = 7667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261016845703125 × 214)
    floor (0.261016845703125 × 16384)
    floor (4276.5)     		ty = 4276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7667 / 4276 ti = "14/7667/4276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7667/4276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7667 ÷ 214
    7667 ÷ 16384     		x = 0.46795654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4276 ÷ 214
    4276 ÷ 16384     		y = 0.260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46795654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20133498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260986328125 × 2 - 1) × π
    0.47802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50176719129712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20133498} λ = -0.20133498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50176719129712))-π/2
    2×atan(4.48961607446293)-π/2
    2×1.35163764874458-π/2
    2.70327529748916-1.57079632675     		φ = 1.13247897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20133498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.535645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13247897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.886265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7667 KachelY 4276 -0.20133498 1.13247897 -11.535645 64.886265
    Oben rechts KachelX + 1 7668 KachelY 4276 -0.20095148 1.13247897 -11.513672 64.886265
    Unten links KachelX 7667 KachelY + 1 4277 -0.20133498 1.13231618 -11.535645 64.876938
    Unten rechts KachelX + 1 7668 KachelY + 1 4277 -0.20095148 1.13231618 -11.513672 64.876938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13247897-1.13231618) × R
    0.000162790000000079 × 6371000     		dl = 1037.1350900005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13247897-1.13231618) × R
    0.000162790000000079 × 6371000     		dr = 1037.1350900005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20133498--0.20095148) × cos(1.13247897) × R
    0.000383500000000009 × 0.424416488567418 × 6371000     		do = 1036.96768156229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20133498--0.20095148) × cos(1.13231618) × R
    0.000383500000000009 × 0.42456388393009 × 6371000     		du = 1037.32780948291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13247897)-sin(1.13231618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424416488567418-0.42456388393009)×R²
    abs(-0.20095148--0.20133498)×0.000147395362672775×R²
    0.000383500000000009×0.000147395362672775×6371000²
    0.000383500000000009×0.000147395362672775×40589641000000     		ar = 1075662.32277062m²