Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76665 / 59513
↖ ↑ ↗
← N 16.317503°
E 30.566712°		 ← 293.06 m → N 16.317503°
E 30.569458°		 →
↑
293.07 m
↓
↑
293.07 m
↓
N 16.314868°
E 30.566712°		 ← 293.07 m →
85 887 m²		 N 16.314868°
E 30.569458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584911346435547 y=0.454051971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584911346435547 × 217)
    floor (0.584911346435547 × 131072)
    floor (76665.5)     		tx = 76665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454051971435547 × 217)
    floor (0.454051971435547 × 131072)
    floor (59513.5)     		ty = 59513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76665 / 59513 ti = "17/76665/59513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76665/59513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76665 ÷ 217
    76665 ÷ 131072     		x = 0.584907531738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59513 ÷ 217
    59513 ÷ 131072     		y = 0.454048156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584907531738281 × 2 - 1) × π
    0.169815063476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.53348976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454048156738281 × 2 - 1) × π
    0.0919036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.288723946411598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53348976} λ = 0.53348976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288723946411598))-π/2
    2×atan(1.33472322253204)-π/2
    2×0.927795244480374-π/2
    1.85559048896075-1.57079632675     		φ = 0.28479416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53348976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.566712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28479416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.317503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76665 KachelY 59513 0.53348976 0.28479416 30.566712 16.317503
    Oben rechts KachelX + 1 76666 KachelY 59513 0.53353769 0.28479416 30.569458 16.317503
    Unten links KachelX 76665 KachelY + 1 59514 0.53348976 0.28474816 30.566712 16.314868
    Unten rechts KachelX + 1 76666 KachelY + 1 59514 0.53353769 0.28474816 30.569458 16.314868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28479416-0.28474816) × R
    4.6000000000046e-05 × 6371000     		dl = 293.066000000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28479416-0.28474816) × R
    4.6000000000046e-05 × 6371000     		dr = 293.066000000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53348976-0.53353769) × cos(0.28479416) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.959719505776284 × 6371000     		do = 293.061896513943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53348976-0.53353769) × cos(0.28474816) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.959732428916692 × 6371000     		du = 293.065842750332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28479416)-sin(0.28474816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959719505776284-0.959732428916692)×R²
    abs(0.53353769-0.53348976)×1.29231404072394e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.29231404072394e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.29231404072394e-05×40589641000000     		ar = 85887.0560329284m²