Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76664 / 59512
↖ ↑ ↗
← N 16.320140°
E 30.563965°		 ← 293.12 m → N 16.320140°
E 30.566712°		 →
↑
293.13 m
↓
↑
293.13 m
↓
N 16.317503°
E 30.563965°		 ← 293.12 m →
85 922 m²		 N 16.317503°
E 30.566712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584903717041016 y=0.454044342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584903717041016 × 217)
    floor (0.584903717041016 × 131072)
    floor (76664.5)     		tx = 76664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454044342041016 × 217)
    floor (0.454044342041016 × 131072)
    floor (59512.5)     		ty = 59512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76664 / 59512 ti = "17/76664/59512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76664/59512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76664 ÷ 217
    76664 ÷ 131072     		x = 0.58489990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59512 ÷ 217
    59512 ÷ 131072     		y = 0.45404052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58489990234375 × 2 - 1) × π
    0.1697998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53344182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45404052734375 × 2 - 1) × π
    0.0919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.288771883311218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53344182} λ = 0.53344182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288771883311218))-π/2
    2×atan(1.33478720655877)-π/2
    2×0.927818247314252-π/2
    1.8556364946285-1.57079632675     		φ = 0.28484017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53344182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.563965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28484017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.320140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76664 KachelY 59512 0.53344182 0.28484017 30.563965 16.320140
    Oben rechts KachelX + 1 76665 KachelY 59512 0.53348976 0.28484017 30.566712 16.320140
    Unten links KachelX 76664 KachelY + 1 59513 0.53344182 0.28479416 30.563965 16.317503
    Unten rechts KachelX + 1 76665 KachelY + 1 59513 0.53348976 0.28479416 30.566712 16.317503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28484017-0.28479416) × R
    4.60099999999852e-05 × 6371000     		dl = 293.129709999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28484017-0.28479416) × R
    4.60099999999852e-05 × 6371000     		dr = 293.129709999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53344182-0.53348976) × cos(0.28484017) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.95970657779507 × 6371000     		do = 293.119091706413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53344182-0.53348976) × cos(0.28479416) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.959719505776284 × 6371000     		du = 293.123040244642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28484017)-sin(0.28479416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95970657779507-0.959719505776284)×R²
    abs(0.53348976-0.53344182)×1.29279812142169e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.29279812142169e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.29279812142169e-05×40589641000000     		ar = 85922.4930793427m²