Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76663 / 58441
↖ ↑ ↗
← N 19.121814°
E 30.561218°		 ← 288.57 m → N 19.121814°
E 30.563965°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
N 19.119219°
E 30.561218°		 ← 288.58 m →
83 266 m²		 N 19.119219°
E 30.563965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584896087646484 y=0.445873260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584896087646484 × 217)
    floor (0.584896087646484 × 131072)
    floor (76663.5)     		tx = 76663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445873260498047 × 217)
    floor (0.445873260498047 × 131072)
    floor (58441.5)     		ty = 58441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76663 / 58441 ti = "17/76663/58441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76663/58441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76663 ÷ 217
    76663 ÷ 131072     		x = 0.584892272949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58441 ÷ 217
    58441 ÷ 131072     		y = 0.445869445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584892272949219 × 2 - 1) × π
    0.169784545898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.53339388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445869445800781 × 2 - 1) × π
    0.108261108398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.340112302804298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53339388} λ = 0.53339388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340112302804298))-π/2
    2×atan(1.40510537897778)-π/2
    2×0.952267474480232-π/2
    1.90453494896046-1.57079632675     		φ = 0.33373862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53339388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.561218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33373862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.121814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76663 KachelY 58441 0.53339388 0.33373862 30.561218 19.121814
    Oben rechts KachelX + 1 76664 KachelY 58441 0.53344182 0.33373862 30.563965 19.121814
    Unten links KachelX 76663 KachelY + 1 58442 0.53339388 0.33369333 30.561218 19.119219
    Unten rechts KachelX + 1 76664 KachelY + 1 58442 0.53344182 0.33369333 30.563965 19.119219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33373862-0.33369333) × R
    4.52899999999756e-05 × 6371000     		dl = 288.542589999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33373862-0.33369333) × R
    4.52899999999756e-05 × 6371000     		dr = 288.542589999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53339388-0.53344182) × cos(0.33373862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944824261062324 × 6371000     		do = 288.573649104724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53339388-0.53344182) × cos(0.33369333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944839096085009 × 6371000     		du = 288.578180102506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33373862)-sin(0.33369333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944824261062324-0.944839096085009)×R²
    abs(0.53344182-0.53339388)×1.48350226850669e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48350226850669e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48350226850669e-05×40589641000000     		ar = 83266.4418254705m²