Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76662 / 58442
↖ ↑ ↗
← N 19.119219°
E 30.558472°		 ← 288.52 m → N 19.119219°
E 30.561218°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
N 19.116625°
E 30.558472°		 ← 288.52 m →
83 250 m²		 N 19.116625°
E 30.561218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584888458251953 y=0.445880889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584888458251953 × 217)
    floor (0.584888458251953 × 131072)
    floor (76662.5)     		tx = 76662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445880889892578 × 217)
    floor (0.445880889892578 × 131072)
    floor (58442.5)     		ty = 58442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76662 / 58442 ti = "17/76662/58442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76662/58442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76662 ÷ 217
    76662 ÷ 131072     		x = 0.584884643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58442 ÷ 217
    58442 ÷ 131072     		y = 0.445877075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584884643554688 × 2 - 1) × π
    0.169769287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53334595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445877075195312 × 2 - 1) × π
    0.108245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.340064365904678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53334595} λ = 0.53334595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340064365904678))-π/2
    2×atan(1.40503802419668)-π/2
    2×0.95224482832957-π/2
    1.90448965665914-1.57079632675     		φ = 0.33369333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53334595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.558472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33369333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.119219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76662 KachelY 58442 0.53334595 0.33369333 30.558472 19.119219
    Oben rechts KachelX + 1 76663 KachelY 58442 0.53339388 0.33369333 30.561218 19.119219
    Unten links KachelX 76662 KachelY + 1 58443 0.53334595 0.33364804 30.558472 19.116625
    Unten rechts KachelX + 1 76663 KachelY + 1 58443 0.53339388 0.33364804 30.561218 19.116625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33369333-0.33364804) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dl = 288.542590000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33369333-0.33364804) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dr = 288.542590000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53334595-0.53339388) × cos(0.33369333) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944839096085009 × 6371000     		do = 288.51798440406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53334595-0.53339388) × cos(0.33364804) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944853929169655 × 6371000     		du = 288.522513864899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33369333)-sin(0.33364804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944839096085009-0.944853929169655)×R²
    abs(0.53339388-0.53334595)×1.48330846462263e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48330846462263e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48330846462263e-05×40589641000000     		ar = 83250.3799670843m²