Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7666 / 5070
↖ ↑ ↗
← N 56.389584°
W 11.557617°		 ← 1 352.42 m → N 56.389584°
W 11.535645°		 →
↑
1 352.69 m
↓
↑
1 352.69 m
↓
N 56.377419°
W 11.557617°		 ← 1 352.86 m →
1 829 704 m²		 N 56.377419°
W 11.535645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467926025390625 y=0.309478759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467926025390625 × 214)
    floor (0.467926025390625 × 16384)
    floor (7666.5)     		tx = 7666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309478759765625 × 214)
    floor (0.309478759765625 × 16384)
    floor (5070.5)     		ty = 5070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7666 / 5070 ti = "14/7666/5070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7666/5070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7666 ÷ 214
    7666 ÷ 16384     		x = 0.4678955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5070 ÷ 214
    5070 ÷ 16384     		y = 0.3094482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4678955078125 × 2 - 1) × π
    -0.064208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20171847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3094482421875 × 2 - 1) × π
    0.381103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19727200491052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20171847} λ = -0.20171847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19727200491052))-π/2
    2×atan(3.31107200293256)-π/2
    2×1.27749011156313-π/2
    2.55498022312625-1.57079632675     		φ = 0.98418390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20171847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.557617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98418390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.389584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7666 KachelY 5070 -0.20171847 0.98418390 -11.557617 56.389584
    Oben rechts KachelX + 1 7667 KachelY 5070 -0.20133498 0.98418390 -11.535645 56.389584
    Unten links KachelX 7666 KachelY + 1 5071 -0.20171847 0.98397158 -11.557617 56.377419
    Unten rechts KachelX + 1 7667 KachelY + 1 5071 -0.20133498 0.98397158 -11.535645 56.377419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98418390-0.98397158) × R
    0.000212320000000044 × 6371000     		dl = 1352.69072000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98418390-0.98397158) × R
    0.000212320000000044 × 6371000     		dr = 1352.69072000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20171847--0.20133498) × cos(0.98418390) × R
    0.000383490000000014 × 0.553542963617229 × 6371000     		do = 1352.4243556101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20171847--0.20133498) × cos(0.98397158) × R
    0.000383490000000014 × 0.553719775613438 × 6371000     		du = 1352.85634529428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98418390)-sin(0.98397158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553542963617229-0.553719775613438)×R²
    abs(-0.20133498--0.20171847)×0.000176811996209114×R²
    0.000383490000000014×0.000176811996209114×6371000²
    0.000383490000000014×0.000176811996209114×40589641000000     		ar = 1829704.05642733m²