Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76659 / 58446
↖ ↑ ↗
← N 19.108839°
E 30.550232°		 ← 288.60 m → N 19.108839°
E 30.552978°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
N 19.106244°
E 30.550232°		 ← 288.60 m →
83 273 m²		 N 19.106244°
E 30.552978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584865570068359 y=0.445911407470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584865570068359 × 217)
    floor (0.584865570068359 × 131072)
    floor (76659.5)     		tx = 76659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445911407470703 × 217)
    floor (0.445911407470703 × 131072)
    floor (58446.5)     		ty = 58446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76659 / 58446 ti = "17/76659/58446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76659/58446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76659 ÷ 217
    76659 ÷ 131072     		x = 0.584861755371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58446 ÷ 217
    58446 ÷ 131072     		y = 0.445907592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584861755371094 × 2 - 1) × π
    0.169723510742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.53320213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445907592773438 × 2 - 1) × π
    0.108184814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.339872618306198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53320213} λ = 0.53320213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339872618306198))-π/2
    2×atan(1.40476863735773)-π/2
    2×0.952154240171628-π/2
    1.90430848034326-1.57079632675     		φ = 0.33351215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53320213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.550232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33351215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.108839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76659 KachelY 58446 0.53320213 0.33351215 30.550232 19.108839
    Oben rechts KachelX + 1 76660 KachelY 58446 0.53325007 0.33351215 30.552978 19.108839
    Unten links KachelX 76659 KachelY + 1 58447 0.53320213 0.33346686 30.550232 19.106244
    Unten rechts KachelX + 1 76660 KachelY + 1 58447 0.53325007 0.33346686 30.552978 19.106244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33351215-0.33346686) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dl = 288.542590000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33351215-0.33346686) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dr = 288.542590000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53320213-0.53325007) × cos(0.33351215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944898423342329 × 6371000     		do = 288.596300173975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53320213-0.53325007) × cos(0.33346686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944913248673659 × 6371000     		du = 288.600828211767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33351215)-sin(0.33346686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944898423342329-0.944913248673659)×R²
    abs(0.53325007-0.53320213)×1.48253313303481e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48253313303481e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48253313303481e-05×40589641000000     		ar = 83272.9771966919m²