Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76658 / 58450
↖ ↑ ↗
← N 19.098458°
E 30.547485°		 ← 288.55 m → N 19.098458°
E 30.550232°		 →
↑
288.61 m
↓
↑
288.61 m
↓
N 19.095862°
E 30.547485°		 ← 288.56 m →
83 279 m²		 N 19.095862°
E 30.550232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584857940673828 y=0.445941925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584857940673828 × 217)
    floor (0.584857940673828 × 131072)
    floor (76658.5)     		tx = 76658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445941925048828 × 217)
    floor (0.445941925048828 × 131072)
    floor (58450.5)     		ty = 58450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76658 / 58450 ti = "17/76658/58450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76658/58450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76658 ÷ 217
    76658 ÷ 131072     		x = 0.584854125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58450 ÷ 217
    58450 ÷ 131072     		y = 0.445938110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584854125976562 × 2 - 1) × π
    0.169708251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.53315420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445938110351562 × 2 - 1) × π
    0.108123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.339680870707718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53315420} λ = 0.53315420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339680870707718))-π/2
    2×atan(1.40449930216811)-π/2
    2×0.952063646327181-π/2
    1.90412729265436-1.57079632675     		φ = 0.33333097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53315420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.547485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33333097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.098458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76658 KachelY 58450 0.53315420 0.33333097 30.547485 19.098458
    Oben rechts KachelX + 1 76659 KachelY 58450 0.53320213 0.33333097 30.550232 19.098458
    Unten links KachelX 76658 KachelY + 1 58451 0.53315420 0.33328567 30.547485 19.095862
    Unten rechts KachelX + 1 76659 KachelY + 1 58451 0.53320213 0.33328567 30.550232 19.095862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33333097-0.33328567) × R
    4.53000000000259e-05 × 6371000     		dl = 288.606300000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33333097-0.33328567) × R
    4.53000000000259e-05 × 6371000     		dr = 288.606300000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53315420-0.53320213) × cos(0.33333097) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944957719582232 × 6371000     		do = 288.554207515978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53315420-0.53320213) × cos(0.33328567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944972540431257 × 6371000     		du = 288.558733240522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33333097)-sin(0.33328567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944957719582232-0.944972540431257)×R²
    abs(0.53320213-0.53315420)×1.48208490243773e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48208490243773e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48208490243773e-05×40589641000000     		ar = 83279.2152712228m²