Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76641 / 59492
↖ ↑ ↗
← N 16.372851°
E 30.500793°		 ← 293.04 m → N 16.372851°
E 30.503540°		 →
↑
293 m
↓
↑
293 m
↓
N 16.370216°
E 30.500793°		 ← 293.04 m →
85 862 m²		 N 16.370216°
E 30.503540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584728240966797 y=0.453891754150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584728240966797 × 217)
    floor (0.584728240966797 × 131072)
    floor (76641.5)     		tx = 76641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453891754150391 × 217)
    floor (0.453891754150391 × 131072)
    floor (59492.5)     		ty = 59492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76641 / 59492 ti = "17/76641/59492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76641/59492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76641 ÷ 217
    76641 ÷ 131072     		x = 0.584724426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59492 ÷ 217
    59492 ÷ 131072     		y = 0.453887939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584724426269531 × 2 - 1) × π
    0.169448852539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.53233927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453887939453125 × 2 - 1) × π
    0.09222412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.289730621303619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53233927} λ = 0.53233927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289730621303619))-π/2
    2×atan(1.33606753141544)-π/2
    2×0.928278238862712-π/2
    1.85655647772542-1.57079632675     		φ = 0.28576015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53233927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.500793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28576015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.372851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76641 KachelY 59492 0.53233927 0.28576015 30.500793 16.372851
    Oben rechts KachelX + 1 76642 KachelY 59492 0.53238721 0.28576015 30.503540 16.372851
    Unten links KachelX 76641 KachelY + 1 59493 0.53233927 0.28571416 30.500793 16.370216
    Unten rechts KachelX + 1 76642 KachelY + 1 59493 0.53238721 0.28571416 30.503540 16.370216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28576015-0.28571416) × R
    4.59899999999958e-05 × 6371000     		dl = 293.002289999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28576015-0.28571416) × R
    4.59899999999958e-05 × 6371000     		dr = 293.002289999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53233927-0.53238721) × cos(0.28576015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959447653581697 × 6371000     		do = 293.040009586261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53233927-0.53238721) × cos(0.28571416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959460616543583 × 6371000     		du = 293.043968808488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28576015)-sin(0.28571416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959447653581697-0.959460616543583)×R²
    abs(0.53238721-0.53233927)×1.29629618853544e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29629618853544e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29629618853544e-05×40589641000000     		ar = 85861.9739161434m²