Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76640 / 59493
↖ ↑ ↗
← N 16.370216°
E 30.498047°		 ← 293.04 m → N 16.370216°
E 30.500793°		 →
↑
293.07 m
↓
↑
293.07 m
↓
N 16.367580°
E 30.498047°		 ← 293.05 m →
85 882 m²		 N 16.367580°
E 30.500793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584720611572266 y=0.453899383544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584720611572266 × 217)
    floor (0.584720611572266 × 131072)
    floor (76640.5)     		tx = 76640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453899383544922 × 217)
    floor (0.453899383544922 × 131072)
    floor (59493.5)     		ty = 59493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76640 / 59493 ti = "17/76640/59493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76640/59493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76640 ÷ 217
    76640 ÷ 131072     		x = 0.584716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59493 ÷ 217
    59493 ÷ 131072     		y = 0.453895568847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584716796875 × 2 - 1) × π
    0.16943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53229133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453895568847656 × 2 - 1) × π
    0.0922088623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.289682684403999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53229133} λ = 0.53229133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289682684403999))-π/2
    2×atan(1.33600348601538)-π/2
    2×0.928255242234422-π/2
    1.85651048446884-1.57079632675     		φ = 0.28571416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53229133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.498047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28571416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.370216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76640 KachelY 59493 0.53229133 0.28571416 30.498047 16.370216
    Oben rechts KachelX + 1 76641 KachelY 59493 0.53233927 0.28571416 30.500793 16.370216
    Unten links KachelX 76640 KachelY + 1 59494 0.53229133 0.28566816 30.498047 16.367580
    Unten rechts KachelX + 1 76641 KachelY + 1 59494 0.53233927 0.28566816 30.500793 16.367580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28571416-0.28566816) × R
    4.59999999999905e-05 × 6371000     		dl = 293.065999999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28571416-0.28566816) × R
    4.59999999999905e-05 × 6371000     		dr = 293.065999999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53229133-0.53233927) × cos(0.28571416) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.959460616543583 × 6371000     		do = 293.043968809166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53229133-0.53233927) × cos(0.28566816) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.959473580294118 × 6371000     		du = 293.047928272267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28571416)-sin(0.28566816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959460616543583-0.959473580294118)×R²
    abs(0.53233927-0.53229133)×1.29637505352775e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.29637505352775e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.29637505352775e-05×40589641000000     		ar = 85881.8039701493m²