Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7664 / 4246
↖ ↑ ↗
← N 65.164579°
W 11.601562°		 ← 1 026.18 m → N 65.164579°
W 11.579590°		 →
↑
1 026.37 m
↓
↑
1 026.37 m
↓
N 65.155349°
W 11.601562°		 ← 1 026.54 m →
1 053 424 m²		 N 65.155349°
W 11.579590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467803955078125 y=0.259185791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467803955078125 × 214)
    floor (0.467803955078125 × 16384)
    floor (7664.5)     		tx = 7664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259185791015625 × 214)
    floor (0.259185791015625 × 16384)
    floor (4246.5)     		ty = 4246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7664 / 4246 ti = "14/7664/4246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7664/4246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7664 ÷ 214
    7664 ÷ 16384     		x = 0.4677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4246 ÷ 214
    4246 ÷ 16384     		y = 0.2591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4677734375 × 2 - 1) × π
    -0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2591552734375 × 2 - 1) × π
    0.481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51327204720593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20248546} λ = -0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51327204720593))-π/2
    2×atan(4.54156672986605)-π/2
    2×1.35406639198922-π/2
    2.70813278397843-1.57079632675     		φ = 1.13733646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13733646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.164579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7664 KachelY 4246 -0.20248546 1.13733646 -11.601562 65.164579
    Oben rechts KachelX + 1 7665 KachelY 4246 -0.20210197 1.13733646 -11.579590 65.164579
    Unten links KachelX 7664 KachelY + 1 4247 -0.20248546 1.13717536 -11.601562 65.155349
    Unten rechts KachelX + 1 7665 KachelY + 1 4247 -0.20210197 1.13717536 -11.579590 65.155349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13733646-1.13717536) × R
    0.000161099999999914 × 6371000     		dl = 1026.36809999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13733646-1.13717536) × R
    0.000161099999999914 × 6371000     		dr = 1026.36809999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20248546--0.20210197) × cos(1.13733646) × R
    0.000383490000000014 × 0.420013201459149 × 6371000     		do = 1026.18246580028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20248546--0.20210197) × cos(1.13717536) × R
    0.000383490000000014 × 0.420159397157108 × 6371000     		du = 1026.53965329177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13733646)-sin(1.13717536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420013201459149-0.420159397157108)×R²
    abs(-0.20210197--0.20248546)×0.00014619569795904×R²
    0.000383490000000014×0.00014619569795904×6371000²
    0.000383490000000014×0.00014619569795904×40589641000000     		ar = 1053424.25287953m²