Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76638 / 61598
↖ ↑ ↗
← N 10.752366°
E 30.492554°		 ← 300.06 m → N 10.752366°
E 30.495300°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
N 10.749668°
E 30.492554°		 ← 300.07 m →
90 023 m²		 N 10.749668°
E 30.495300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584705352783203 y=0.469959259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584705352783203 × 217)
    floor (0.584705352783203 × 131072)
    floor (76638.5)     		tx = 76638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469959259033203 × 217)
    floor (0.469959259033203 × 131072)
    floor (61598.5)     		ty = 61598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76638 / 61598 ti = "17/76638/61598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76638/61598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76638 ÷ 217
    76638 ÷ 131072     		x = 0.584701538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61598 ÷ 217
    61598 ÷ 131072     		y = 0.469955444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584701538085938 × 2 - 1) × π
    0.169403076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53219546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469955444335938 × 2 - 1) × π
    0.060089111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.188775510703781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53219546} λ = 0.53219546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.188775510703781))-π/2
    2×atan(1.20776979065728)-π/2
    2×0.879230258681703-π/2
    1.75846051736341-1.57079632675     		φ = 0.18766419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53219546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.492554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18766419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.752366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76638 KachelY 61598 0.53219546 0.18766419 30.492554 10.752366
    Oben rechts KachelX + 1 76639 KachelY 61598 0.53224340 0.18766419 30.495300 10.752366
    Unten links KachelX 76638 KachelY + 1 61599 0.53219546 0.18761710 30.492554 10.749668
    Unten rechts KachelX + 1 76639 KachelY + 1 61599 0.53224340 0.18761710 30.495300 10.749668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18766419-0.18761710) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18766419-0.18761710) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53219546-0.53224340) × cos(0.18766419) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.982442694301165 × 6371000     		do = 300.063286915025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53219546-0.53224340) × cos(0.18761710) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.982451478539216 × 6371000     		du = 300.065969847432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18766419)-sin(0.18761710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982442694301165-0.982451478539216)×R²
    abs(0.53224340-0.53219546)×8.78423805117379e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.78423805117379e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.78423805117379e-06×40589641000000     		ar = 90022.5062024906m²