Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76638 / 59222
↖ ↑ ↗
← N 17.083040°
E 30.492554°		 ← 291.95 m → N 17.083040°
E 30.495300°		 →
↑
291.92 m
↓
↑
291.92 m
↓
N 17.080415°
E 30.492554°		 ← 291.95 m →
85 227 m²		 N 17.080415°
E 30.495300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584705352783203 y=0.451831817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584705352783203 × 217)
    floor (0.584705352783203 × 131072)
    floor (76638.5)     		tx = 76638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451831817626953 × 217)
    floor (0.451831817626953 × 131072)
    floor (59222.5)     		ty = 59222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76638 / 59222 ti = "17/76638/59222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76638/59222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76638 ÷ 217
    76638 ÷ 131072     		x = 0.584701538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59222 ÷ 217
    59222 ÷ 131072     		y = 0.451828002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584701538085938 × 2 - 1) × π
    0.169403076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53219546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451828002929688 × 2 - 1) × π
    0.096343994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.302673584201035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53219546} λ = 0.53219546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302673584201035))-π/2
    2×atan(1.35347259749075)-π/2
    2×0.934475814761079-π/2
    1.86895162952216-1.57079632675     		φ = 0.29815530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53219546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.492554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29815530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.083040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76638 KachelY 59222 0.53219546 0.29815530 30.492554 17.083040
    Oben rechts KachelX + 1 76639 KachelY 59222 0.53224340 0.29815530 30.495300 17.083040
    Unten links KachelX 76638 KachelY + 1 59223 0.53219546 0.29810948 30.492554 17.080415
    Unten rechts KachelX + 1 76639 KachelY + 1 59223 0.53224340 0.29810948 30.495300 17.080415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29815530-0.29810948) × R
    4.58200000000297e-05 × 6371000     		dl = 291.919220000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29815530-0.29810948) × R
    4.58200000000297e-05 × 6371000     		dr = 291.919220000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53219546-0.53224340) × cos(0.29815530) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.955880009476203 × 6371000     		do = 291.950359245961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53219546-0.53224340) × cos(0.29810948) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.955893468436644 × 6371000     		du = 291.954469958913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29815530)-sin(0.29810948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955880009476203-0.955893468436644)×R²
    abs(0.53224340-0.53219546)×1.34589604410262e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.34589604410262e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.34589604410262e-05×40589641000000     		ar = 85226.5211627275m²