Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76637 / 59199
↖ ↑ ↗
← N 17.143415°
E 30.489807°		 ← 291.86 m → N 17.143415°
E 30.492554°		 →
↑
291.86 m
↓
↑
291.86 m
↓
N 17.140790°
E 30.489807°		 ← 291.86 m →
85 180 m²		 N 17.140790°
E 30.492554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584697723388672 y=0.451656341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584697723388672 × 217)
    floor (0.584697723388672 × 131072)
    floor (76637.5)     		tx = 76637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451656341552734 × 217)
    floor (0.451656341552734 × 131072)
    floor (59199.5)     		ty = 59199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76637 / 59199 ti = "17/76637/59199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76637/59199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76637 ÷ 217
    76637 ÷ 131072     		x = 0.584693908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59199 ÷ 217
    59199 ÷ 131072     		y = 0.451652526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584693908691406 × 2 - 1) × π
    0.169387817382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.53214752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451652526855469 × 2 - 1) × π
    0.0966949462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.303776132892296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53214752} λ = 0.53214752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303776132892296))-π/2
    2×atan(1.35496568988405)-π/2
    2×0.935002681463955-π/2
    1.87000536292791-1.57079632675     		φ = 0.29920904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53214752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.489807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29920904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.143415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76637 KachelY 59199 0.53214752 0.29920904 30.489807 17.143415
    Oben rechts KachelX + 1 76638 KachelY 59199 0.53219546 0.29920904 30.492554 17.143415
    Unten links KachelX 76637 KachelY + 1 59200 0.53214752 0.29916323 30.489807 17.140790
    Unten rechts KachelX + 1 76638 KachelY + 1 59200 0.53219546 0.29916323 30.492554 17.140790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29920904-0.29916323) × R
    4.58099999999795e-05 × 6371000     		dl = 291.855509999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29920904-0.29916323) × R
    4.58099999999795e-05 × 6371000     		dr = 291.855509999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53214752-0.53219546) × cos(0.29920904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955569934926191 × 6371000     		do = 291.855654496392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53214752-0.53219546) × cos(0.29916323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955583437084419 × 6371000     		du = 291.859778403061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29920904)-sin(0.29916323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955569934926191-0.955583437084419)×R²
    abs(0.53219546-0.53214752)×1.35021582273742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35021582273742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35021582273742e-05×40589641000000     		ar = 85180.2826966824m²