Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7663 / 9579
↖ ↑ ↗
← S 29.132970°
W 11.623535°		 ← 2 134.18 m → S 29.132970°
W 11.601562°		 →
↑
2 133.97 m
↓
↑
2 133.97 m
↓
S 29.152161°
W 11.623535°		 ← 2 133.79 m →
4 553 854 m²		 S 29.152161°
W 11.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467742919921875 y=0.584686279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467742919921875 × 214)
    floor (0.467742919921875 × 16384)
    floor (7663.5)     		tx = 7663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584686279296875 × 214)
    floor (0.584686279296875 × 16384)
    floor (9579.5)     		ty = 9579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7663 / 9579 ti = "14/7663/9579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7663/9579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7663 ÷ 214
    7663 ÷ 16384     		x = 0.46771240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9579 ÷ 214
    9579 ÷ 16384     		y = 0.58465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0645751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20286896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1693115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.531907838184143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20286896} λ = -0.20286896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531907838184143))-π/2
    2×atan(0.587483077176796)-π/2
    2×0.53116503856959-π/2
    1.06233007713918-1.57079632675     		φ = -0.50846625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20286896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.623535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50846625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.132970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7663 KachelY 9579 -0.20286896 -0.50846625 -11.623535 -29.132970
    Oben rechts KachelX + 1 7664 KachelY 9579 -0.20248546 -0.50846625 -11.601562 -29.132970
    Unten links KachelX 7663 KachelY + 1 9580 -0.20286896 -0.50880120 -11.623535 -29.152161
    Unten rechts KachelX + 1 7664 KachelY + 1 9580 -0.20248546 -0.50880120 -11.601562 -29.152161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50846625--0.50880120) × R
    0.000334949999999945 × 6371000     		dl = 2133.96644999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50846625--0.50880120) × R
    0.000334949999999945 × 6371000     		dr = 2133.96644999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20286896--0.20248546) × cos(-0.50846625) × R
    0.000383499999999981 × 0.873492222687487 × 6371000     		do = 2134.18476760944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20286896--0.20248546) × cos(-0.50880120) × R
    0.000383499999999981 × 0.873329107269294 × 6371000     		du = 2133.78623121516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50846625)-sin(-0.50880120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873492222687487-0.873329107269294)×R²
    abs(-0.20248546--0.20286896)×0.000163115418192583×R²
    0.000383499999999981×0.000163115418192583×6371000²
    0.000383499999999981×0.000163115418192583×40589641000000     		ar = 4553853.50310711m²