Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7662 / 5118
↖ ↑ ↗
← N 55.801281°
W 11.645508°		 ← 1 373.25 m → N 55.801281°
W 11.623535°		 →
↑
1 373.46 m
↓
↑
1 373.46 m
↓
N 55.788929°
W 11.645508°		 ← 1 373.68 m →
1 886 397 m²		 N 55.788929°
W 11.623535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467681884765625 y=0.312408447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467681884765625 × 214)
    floor (0.467681884765625 × 16384)
    floor (7662.5)     		tx = 7662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312408447265625 × 214)
    floor (0.312408447265625 × 16384)
    floor (5118.5)     		ty = 5118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7662 / 5118 ti = "14/7662/5118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7662/5118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7662 ÷ 214
    7662 ÷ 16384     		x = 0.4676513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5118 ÷ 214
    5118 ÷ 16384     		y = 0.3123779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4676513671875 × 2 - 1) × π
    -0.064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20325245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3123779296875 × 2 - 1) × π
    0.375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17886423545642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20325245} λ = -0.20325245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17886423545642))-π/2
    2×atan(3.25068009827212)-π/2
    2×1.27235620327676-π/2
    2.54471240655352-1.57079632675     		φ = 0.97391608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20325245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97391608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.801281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7662 KachelY 5118 -0.20325245 0.97391608 -11.645508 55.801281
    Oben rechts KachelX + 1 7663 KachelY 5118 -0.20286896 0.97391608 -11.623535 55.801281
    Unten links KachelX 7662 KachelY + 1 5119 -0.20325245 0.97370050 -11.645508 55.788929
    Unten rechts KachelX + 1 7663 KachelY + 1 5119 -0.20286896 0.97370050 -11.623535 55.788929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97391608-0.97370050) × R
    0.000215579999999993 × 6371000     		dl = 1373.46017999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97391608-0.97370050) × R
    0.000215579999999993 × 6371000     		dr = 1373.46017999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20325245--0.20286896) × cos(0.97391608) × R
    0.000383490000000014 × 0.562064886351038 × 6371000     		do = 1373.24524327258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20325245--0.20286896) × cos(0.97370050) × R
    0.000383490000000014 × 0.562243178028038 × 6371000     		du = 1373.68084813476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97391608)-sin(0.97370050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562064886351038-0.562243178028038)×R²
    abs(-0.20286896--0.20325245)×0.000178291677000342×R²
    0.000383490000000014×0.000178291677000342×6371000²
    0.000383490000000014×0.000178291677000342×40589641000000     		ar = 1886396.80928117m²