Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7661 / 1763
↖ ↑ ↗
← N 71.031250°
E156.665039°		 ← 1 588.37 m → N 71.031250°
E156.708984°		 →
↑
1 588.99 m
↓
↑
1 588.99 m
↓
N 71.016960°
E156.665039°		 ← 1 589.52 m →
2 524 816 m²		 N 71.016960°
E156.708984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93524169921875 y=0.21527099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93524169921875 × 213)
    floor (0.93524169921875 × 8192)
    floor (7661.5)     		tx = 7661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21527099609375 × 213)
    floor (0.21527099609375 × 8192)
    floor (1763.5)     		ty = 1763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7661 / 1763 ti = "13/7661/1763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7661/1763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7661 ÷ 213
    7661 ÷ 8192     		x = 0.9351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1763 ÷ 213
    1763 ÷ 8192     		y = 0.2152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9351806640625 × 2 - 1) × π
    0.870361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73432075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2152099609375 × 2 - 1) × π
    0.569580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78938858901746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73432075} λ = 2.73432075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78938858901746))-π/2
    2×atan(5.98579156863633)-π/2
    2×1.40526275090775-π/2
    2.8105255018155-1.57079632675     		φ = 1.23972918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73432075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23972918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.031250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7661 KachelY 1763 2.73432075 1.23972918 156.665039 71.031250
    Oben rechts KachelX + 1 7662 KachelY 1763 2.73508774 1.23972918 156.708984 71.031250
    Unten links KachelX 7661 KachelY + 1 1764 2.73432075 1.23947977 156.665039 71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 7662 KachelY + 1 1764 2.73508774 1.23947977 156.708984 71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23972918-1.23947977) × R
    0.000249410000000116 × 6371000     		dl = 1588.99111000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23972918-1.23947977) × R
    0.000249410000000116 × 6371000     		dr = 1588.99111000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73432075-2.73508774) × cos(1.23972918) × R
    0.000766989999999801 × 0.325052409747532 × 6371000     		do = 1588.36641912924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73432075-2.73508774) × cos(1.23947977) × R
    0.000766989999999801 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 1589.5189275377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23972918)-sin(1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325052409747532-0.325288265675305)×R²
    abs(2.73508774-2.73432075)×0.000235855927772977×R²
    0.000766989999999801×0.000235855927772977×6371000²
    0.000766989999999801×0.000235855927772977×40589641000000     		ar = 2524815.79531675m²