Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76609 / 59200
↖ ↑ ↗
← N 17.140790°
E 30.412903°		 ← 291.86 m → N 17.140790°
E 30.415650°		 →
↑
291.86 m
↓
↑
291.86 m
↓
N 17.138166°
E 30.412903°		 ← 291.86 m →
85 181 m²		 N 17.138166°
E 30.415650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584484100341797 y=0.451663970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584484100341797 × 217)
    floor (0.584484100341797 × 131072)
    floor (76609.5)     		tx = 76609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451663970947266 × 217)
    floor (0.451663970947266 × 131072)
    floor (59200.5)     		ty = 59200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76609 / 59200 ti = "17/76609/59200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76609/59200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76609 ÷ 217
    76609 ÷ 131072     		x = 0.584480285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59200 ÷ 217
    59200 ÷ 131072     		y = 0.45166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584480285644531 × 2 - 1) × π
    0.168960571289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.53080529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    0.0966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.303728195992676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53080529} λ = 0.53080529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303728195992676))-π/2
    2×atan(1.35490073858658)-π/2
    2×0.934979777772095-π/2
    1.86995955554419-1.57079632675     		φ = 0.29916323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53080529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.412903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29916323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.140790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76609 KachelY 59200 0.53080529 0.29916323 30.412903 17.140790
    Oben rechts KachelX + 1 76610 KachelY 59200 0.53085323 0.29916323 30.415650 17.140790
    Unten links KachelX 76609 KachelY + 1 59201 0.53080529 0.29911742 30.412903 17.138166
    Unten rechts KachelX + 1 76610 KachelY + 1 59201 0.53085323 0.29911742 30.415650 17.138166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29916323-0.29911742) × R
    4.58099999999795e-05 × 6371000     		dl = 291.855509999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29916323-0.29911742) × R
    4.58099999999795e-05 × 6371000     		dr = 291.855509999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53080529-0.53085323) × cos(0.29916323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.955583437084419 × 6371000     		do = 291.859778403061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53080529-0.53085323) × cos(0.29911742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9555969372373 × 6371000     		du = 291.863901697245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29916323)-sin(0.29911742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955583437084419-0.9555969372373)×R²
    abs(0.53085323-0.53080529)×1.35001528818179e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35001528818179e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35001528818179e-05×40589641000000     		ar = 85181.4861922795m²