Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76607 / 59211
↖ ↑ ↗
← N 17.111917°
E 30.407410°		 ← 291.84 m → N 17.111917°
E 30.410156°		 →
↑
291.86 m
↓
↑
291.86 m
↓
N 17.109293°
E 30.407410°		 ← 291.85 m →
85 177 m²		 N 17.109293°
E 30.410156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584468841552734 y=0.451747894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584468841552734 × 217)
    floor (0.584468841552734 × 131072)
    floor (76607.5)     		tx = 76607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451747894287109 × 217)
    floor (0.451747894287109 × 131072)
    floor (59211.5)     		ty = 59211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76607 / 59211 ti = "17/76607/59211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76607/59211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76607 ÷ 217
    76607 ÷ 131072     		x = 0.584465026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59211 ÷ 217
    59211 ÷ 131072     		y = 0.451744079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584465026855469 × 2 - 1) × π
    0.168930053710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.53070942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451744079589844 × 2 - 1) × π
    0.0965118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.303200890096855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53070942} λ = 0.53070942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303200890096855))-π/2
    2×atan(1.35418647977186)-π/2
    2×0.934727815814559-π/2
    1.86945563162912-1.57079632675     		φ = 0.29865930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53070942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.407410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29865930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.111917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76607 KachelY 59211 0.53070942 0.29865930 30.407410 17.111917
    Oben rechts KachelX + 1 76608 KachelY 59211 0.53075735 0.29865930 30.410156 17.111917
    Unten links KachelX 76607 KachelY + 1 59212 0.53070942 0.29861349 30.407410 17.109293
    Unten rechts KachelX + 1 76608 KachelY + 1 59212 0.53075735 0.29861349 30.410156 17.109293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29865930-0.29861349) × R
    4.5810000000035e-05 × 6371000     		dl = 291.855510000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29865930-0.29861349) × R
    4.5810000000035e-05 × 6371000     		dr = 291.855510000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53070942-0.53075735) × cos(0.29865930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.955731834350671 × 6371000     		do = 291.844213073123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53070942-0.53075735) × cos(0.29861349) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.955745312442009 × 6371000     		du = 291.848328770455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29865930)-sin(0.29861349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955731834350671-0.955745312442009)×R²
    abs(0.53075735-0.53070942)×1.34780913373378e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34780913373378e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34780913373378e-05×40589641000000     		ar = 85176.9422564879m²