Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76603 / 59205
↖ ↑ ↗
← N 17.127667°
E 30.396423°		 ← 291.82 m → N 17.127667°
E 30.399170°		 →
↑
291.86 m
↓
↑
291.86 m
↓
N 17.125042°
E 30.396423°		 ← 291.82 m →
85 170 m²		 N 17.125042°
E 30.399170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584438323974609 y=0.451702117919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584438323974609 × 217)
    floor (0.584438323974609 × 131072)
    floor (76603.5)     		tx = 76603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451702117919922 × 217)
    floor (0.451702117919922 × 131072)
    floor (59205.5)     		ty = 59205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76603 / 59205 ti = "17/76603/59205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76603/59205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76603 ÷ 217
    76603 ÷ 131072     		x = 0.584434509277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59205 ÷ 217
    59205 ÷ 131072     		y = 0.451698303222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584434509277344 × 2 - 1) × π
    0.168869018554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.53051767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451698303222656 × 2 - 1) × π
    0.0966033935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.303488511494576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53051767} λ = 0.53051767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303488511494576))-π/2
    2×atan(1.35457602879858)-π/2
    2×0.934865254459882-π/2
    1.86973050891976-1.57079632675     		φ = 0.29893418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53051767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.396423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29893418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.127667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76603 KachelY 59205 0.53051767 0.29893418 30.396423 17.127667
    Oben rechts KachelX + 1 76604 KachelY 59205 0.53056560 0.29893418 30.399170 17.127667
    Unten links KachelX 76603 KachelY + 1 59206 0.53051767 0.29888837 30.396423 17.125042
    Unten rechts KachelX + 1 76604 KachelY + 1 59206 0.53056560 0.29888837 30.399170 17.125042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29893418-0.29888837) × R
    4.58099999999795e-05 × 6371000     		dl = 291.855509999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29893418-0.29888837) × R
    4.58099999999795e-05 × 6371000     		dr = 291.855509999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53051767-0.53056560) × cos(0.29893418) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.955650917794807 × 6371000     		do = 291.819504228688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53051767-0.53056560) × cos(0.29888837) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.955664407920537 × 6371000     		du = 291.823623600866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29893418)-sin(0.29888837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955650917794807-0.955664407920537)×R²
    abs(0.53056560-0.53051767)×1.34901257297093e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.34901257297093e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.34901257297093e-05×40589641000000     		ar = 85169.7313802716m²