Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7660 / 5063
↖ ↑ ↗
← N 56.474628°
W 11.689453°		 ← 1 349.40 m → N 56.474628°
W 11.667480°		 →
↑
1 349.63 m
↓
↑
1 349.63 m
↓
N 56.462490°
W 11.689453°		 ← 1 349.83 m →
1 821 489 m²		 N 56.462490°
W 11.667480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467559814453125 y=0.309051513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467559814453125 × 214)
    floor (0.467559814453125 × 16384)
    floor (7660.5)     		tx = 7660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309051513671875 × 214)
    floor (0.309051513671875 × 16384)
    floor (5063.5)     		ty = 5063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7660 / 5063 ti = "14/7660/5063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7660/5063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7660 ÷ 214
    7660 ÷ 16384     		x = 0.467529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5063 ÷ 214
    5063 ÷ 16384     		y = 0.30902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467529296875 × 2 - 1) × π
    -0.06494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20401944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30902099609375 × 2 - 1) × π
    0.3819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19995647128925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20401944} λ = -0.20401944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19995647128925))-π/2
    2×atan(3.31997240547269)-π/2
    2×1.2782322651141-π/2
    2.5564645302282-1.57079632675     		φ = 0.98566820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20401944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.689453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98566820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.474628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7660 KachelY 5063 -0.20401944 0.98566820 -11.689453 56.474628
    Oben rechts KachelX + 1 7661 KachelY 5063 -0.20363595 0.98566820 -11.667480 56.474628
    Unten links KachelX 7660 KachelY + 1 5064 -0.20401944 0.98545636 -11.689453 56.462490
    Unten rechts KachelX + 1 7661 KachelY + 1 5064 -0.20363595 0.98545636 -11.667480 56.462490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98566820-0.98545636) × R
    0.000211839999999963 × 6371000     		dl = 1349.63263999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98566820-0.98545636) × R
    0.000211839999999963 × 6371000     		dr = 1349.63263999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20401944--0.20363595) × cos(0.98566820) × R
    0.000383489999999986 × 0.552306198654783 × 6371000     		do = 1349.402673162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20401944--0.20363595) × cos(0.98545636) × R
    0.000383489999999986 × 0.552482784839583 × 6371000     		du = 1349.83411114041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98566820)-sin(0.98545636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552306198654783-0.552482784839583)×R²
    abs(-0.20363595--0.20401944)×0.000176586184800542×R²
    0.000383489999999986×0.000176586184800542×6371000²
    0.000383489999999986×0.000176586184800542×40589641000000     		ar = 1821489.04040287m²