Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7660 / 1716
↖ ↑ ↗
← N 71.691293°
E156.621094°		 ← 1 535.03 m → N 71.691293°
E156.665039°		 →
↑
1 535.54 m
↓
↑
1 535.54 m
↓
N 71.677483°
E156.621094°		 ← 1 536.15 m →
2 357 951 m²		 N 71.677483°
E156.665039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93511962890625 y=0.20953369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93511962890625 × 213)
    floor (0.93511962890625 × 8192)
    floor (7660.5)     		tx = 7660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20953369140625 × 213)
    floor (0.20953369140625 × 8192)
    floor (1716.5)     		ty = 1716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7660 / 1716 ti = "13/7660/1716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7660/1716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7660 ÷ 213
    7660 ÷ 8192     		x = 0.93505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1716 ÷ 213
    1716 ÷ 8192     		y = 0.20947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93505859375 × 2 - 1) × π
    0.8701171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73355376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20947265625 × 2 - 1) × π
    0.5810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73355376} λ = 2.73355376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82543713753174))-π/2
    2×atan(6.2055070863394)-π/2
    2×1.41102271486491-π/2
    2.82204542972981-1.57079632675     		φ = 1.25124910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73355376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.621094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25124910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.691293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7660 KachelY 1716 2.73355376 1.25124910 156.621094 71.691293
    Oben rechts KachelX + 1 7661 KachelY 1716 2.73432075 1.25124910 156.665039 71.691293
    Unten links KachelX 7660 KachelY + 1 1717 2.73355376 1.25100808 156.621094 71.677483
    Unten rechts KachelX + 1 7661 KachelY + 1 1717 2.73432075 1.25100808 156.665039 71.677483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25124910-1.25100808) × R
    0.000241019999999814 × 6371000     		dl = 1535.53841999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25124910-1.25100808) × R
    0.000241019999999814 × 6371000     		dr = 1535.53841999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73355376-2.73432075) × cos(1.25124910) × R
    0.000766990000000245 × 0.314136740024525 × 6371000     		do = 1535.02707227281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73355376-2.73432075) × cos(1.25100808) × R
    0.000766990000000245 × 0.314365549922952 × 6371000     		du = 1536.14515030616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25124910)-sin(1.25100808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314136740024525-0.314365549922952)×R²
    abs(2.73432075-2.73355376)×0.000228809898426774×R²
    0.000766990000000245×0.000228809898426774×6371000²
    0.000766990000000245×0.000228809898426774×40589641000000     		ar = 2357951.4825178m²