Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7660 / 10680
↖ ↑ ↗
← N 76.279122°
W137.922363°		 ← 144.87 m → N 76.279122°
W137.916870°		 →
↑
144.88 m
↓
↑
144.88 m
↓
N 76.277819°
W137.922363°		 ← 144.89 m →
20 990 m²		 N 76.277819°
W137.916870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.116889953613281 y=0.162971496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.116889953613281 × 216)
    floor (0.116889953613281 × 65536)
    floor (7660.5)     		tx = 7660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162971496582031 × 216)
    floor (0.162971496582031 × 65536)
    floor (10680.5)     		ty = 10680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7660 / 10680 ti = "16/7660/10680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7660/10680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7660 ÷ 216
    7660 ÷ 65536     		x = 0.11688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10680 ÷ 216
    10680 ÷ 65536     		y = 0.1629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.7662353515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.40719935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1629638671875 × 2 - 1) × π
    0.674072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1176604776156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40719935} λ = -2.40719935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1176604776156))-π/2
    2×atan(8.31166938695613)-π/2
    2×1.4510590782649-π/2
    2.90211815652979-1.57079632675     		φ = 1.33132183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40719935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.922363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33132183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.279122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7660 KachelY 10680 -2.40719935 1.33132183 -137.922363 76.279122
    Oben rechts KachelX + 1 7661 KachelY 10680 -2.40710348 1.33132183 -137.916870 76.279122
    Unten links KachelX 7660 KachelY + 1 10681 -2.40719935 1.33129909 -137.922363 76.277819
    Unten rechts KachelX + 1 7661 KachelY + 1 10681 -2.40710348 1.33129909 -137.916870 76.277819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33132183-1.33129909) × R
    2.27400000001321e-05 × 6371000     		dl = 144.876540000842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33132183-1.33129909) × R
    2.27400000001321e-05 × 6371000     		dr = 144.876540000842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40719935--2.40710348) × cos(1.33132183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237192152410385 × 6371000     		do = 144.874065832236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40719935--2.40710348) × cos(1.33129909) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237214243412087 × 6371000     		du = 144.887558745903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33132183)-sin(1.33129909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237192152410385-0.237214243412087)×R²
    abs(-2.40710348--2.40719935)×2.20910017022513e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.20910017022513e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.20910017022513e-05×40589641000000     		ar = 20989.8307977917m²