Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 766 / 1269
↖ ↑ ↗
← S 39.504041°
W 45.351563°		 ← 15.081 km → S 39.504041°
W 45.175781°		 →
↑
15.067 km
↓
↑
15.067 km
↓
S 39.639537°
W 45.351563°		 ← 15.052 km →
227.001 km²		 S 39.639537°
W 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374267578125 y=0.619873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374267578125 × 211)
    floor (0.374267578125 × 2048)
    floor (766.5)     		tx = 766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619873046875 × 211)
    floor (0.619873046875 × 2048)
    floor (1269.5)     		ty = 1269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 766 / 1269 ti = "11/766/1269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/766/1269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 766 ÷ 211
    766 ÷ 2048     		x = 0.3740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1269 ÷ 211
    1269 ÷ 2048     		y = 0.61962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.75165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79153409} λ = -0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75165058604248))-π/2
    2×atan(0.471587514214055)-π/2
    2×0.440660374328583-π/2
    0.881320748657166-1.57079632675     		φ = -0.68947558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68947558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.504041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 766 KachelY 1269 -0.79153409 -0.68947558 -45.351563 -39.504041
    Oben rechts KachelX + 1 767 KachelY 1269 -0.78846612 -0.68947558 -45.175781 -39.504041
    Unten links KachelX 766 KachelY + 1 1270 -0.79153409 -0.69184044 -45.351563 -39.639537
    Unten rechts KachelX + 1 767 KachelY + 1 1270 -0.78846612 -0.69184044 -45.175781 -39.639537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68947558--0.69184044) × R
    0.00236486000000002 × 6371000     		dl = 15066.5230600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68947558--0.69184044) × R
    0.00236486000000002 × 6371000     		dr = 15066.5230600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79153409--0.78846612) × cos(-0.68947558) × R
    0.00306796999999992 × 0.771579721758282 × 6371000     		do = 15081.3256896313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79153409--0.78846612) × cos(-0.69184044) × R
    0.00306796999999992 × 0.770073200977456 × 6371000     		du = 15051.8791789039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68947558)-sin(-0.69184044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771579721758282-0.770073200977456)×R²
    abs(-0.78846612--0.79153409)×0.00150652078082614×R²
    0.00306796999999992×0.00150652078082614×6371000²
    0.00306796999999992×0.00150652078082614×40589641000000     		ar = 227001418.805059m²