Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76592 / 59520
↖ ↑ ↗
← N 16.299051°
E 30.366211°		 ← 293.15 m → N 16.299051°
E 30.368958°		 →
↑
293.19 m
↓
↑
293.19 m
↓
N 16.296415°
E 30.366211°		 ← 293.15 m →
85 950 m²		 N 16.296415°
E 30.368958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584354400634766 y=0.454105377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584354400634766 × 217)
    floor (0.584354400634766 × 131072)
    floor (76592.5)     		tx = 76592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454105377197266 × 217)
    floor (0.454105377197266 × 131072)
    floor (59520.5)     		ty = 59520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76592 / 59520 ti = "17/76592/59520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76592/59520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76592 ÷ 217
    76592 ÷ 131072     		x = 0.5843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59520 ÷ 217
    59520 ÷ 131072     		y = 0.4541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5843505859375 × 2 - 1) × π
    0.168701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52999036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    0.091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.288388388114258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52999036} λ = 0.52999036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288388388114258))-π/2
    2×atan(1.33427542021616)-π/2
    2×0.92763421597098-π/2
    1.85526843194196-1.57079632675     		φ = 0.28447211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52999036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.366211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28447211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.299051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76592 KachelY 59520 0.52999036 0.28447211 30.366211 16.299051
    Oben rechts KachelX + 1 76593 KachelY 59520 0.53003830 0.28447211 30.368958 16.299051
    Unten links KachelX 76592 KachelY + 1 59521 0.52999036 0.28442609 30.366211 16.296415
    Unten rechts KachelX + 1 76593 KachelY + 1 59521 0.53003830 0.28442609 30.368958 16.296415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28447211-0.28442609) × R
    4.601999999998e-05 × 6371000     		dl = 293.193419999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28447211-0.28442609) × R
    4.601999999998e-05 × 6371000     		dr = 293.193419999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52999036-0.53003830) × cos(0.28447211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959809939144049 × 6371000     		do = 293.150660922234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52999036-0.53003830) × cos(0.28442609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959822853678251 × 6371000     		du = 293.154605353399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28447211)-sin(0.28442609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959809939144049-0.959822853678251)×R²
    abs(0.53003830-0.52999036)×1.29145342019354e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29145342019354e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29145342019354e-05×40589641000000     		ar = 85950.4231068101m²