Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76592 / 59504
↖ ↑ ↗
← N 16.341226°
E 30.366211°		 ← 293.09 m → N 16.341226°
E 30.368958°		 →
↑
293.07 m
↓
↑
293.07 m
↓
N 16.338590°
E 30.366211°		 ← 293.09 m →
85 895 m²		 N 16.338590°
E 30.368958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584354400634766 y=0.453983306884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584354400634766 × 217)
    floor (0.584354400634766 × 131072)
    floor (76592.5)     		tx = 76592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453983306884766 × 217)
    floor (0.453983306884766 × 131072)
    floor (59504.5)     		ty = 59504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76592 / 59504 ti = "17/76592/59504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76592/59504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76592 ÷ 217
    76592 ÷ 131072     		x = 0.5843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59504 ÷ 217
    59504 ÷ 131072     		y = 0.4539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5843505859375 × 2 - 1) × π
    0.168701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52999036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4539794921875 × 2 - 1) × π
    0.092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.289155378508179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52999036} λ = 0.52999036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289155378508179))-π/2
    2×atan(1.33529918920662)-π/2
    2×0.928002258826693-π/2
    1.85600451765339-1.57079632675     		φ = 0.28520819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52999036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.366211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28520819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.341226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76592 KachelY 59504 0.52999036 0.28520819 30.366211 16.341226
    Oben rechts KachelX + 1 76593 KachelY 59504 0.53003830 0.28520819 30.368958 16.341226
    Unten links KachelX 76592 KachelY + 1 59505 0.52999036 0.28516219 30.366211 16.338590
    Unten rechts KachelX + 1 76593 KachelY + 1 59505 0.53003830 0.28516219 30.368958 16.338590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28520819-0.28516219) × R
    4.59999999999905e-05 × 6371000     		dl = 293.065999999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28520819-0.28516219) × R
    4.59999999999905e-05 × 6371000     		dr = 293.065999999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52999036-0.53003830) × cos(0.28520819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959603097690695 × 6371000     		do = 293.087486218281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52999036-0.53003830) × cos(0.28516219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95961603910834 × 6371000     		du = 293.091438860341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28520819)-sin(0.28516219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959603097690695-0.95961603910834)×R²
    abs(0.53003830-0.52999036)×1.29414176447407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29414176447407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29414176447407e-05×40589641000000     		ar = 85894.5564437327m²