Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76591 / 59119
↖ ↑ ↗
← N 17.353260°
E 30.363465°		 ← 291.46 m → N 17.353260°
E 30.366211°		 →
↑
291.47 m
↓
↑
291.47 m
↓
N 17.350639°
E 30.363465°		 ← 291.47 m →
84 954 m²		 N 17.350639°
E 30.366211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584346771240234 y=0.451045989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584346771240234 × 217)
    floor (0.584346771240234 × 131072)
    floor (76591.5)     		tx = 76591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451045989990234 × 217)
    floor (0.451045989990234 × 131072)
    floor (59119.5)     		ty = 59119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76591 / 59119 ti = "17/76591/59119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76591/59119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76591 ÷ 217
    76591 ÷ 131072     		x = 0.584342956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59119 ÷ 217
    59119 ÷ 131072     		y = 0.451042175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584342956542969 × 2 - 1) × π
    0.168685913085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.52994243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451042175292969 × 2 - 1) × π
    0.0979156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.3076110848619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52994243} λ = 0.52994243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3076110848619))-π/2
    2×atan(1.36017189461719)-π/2
    2×0.936833924550121-π/2
    1.87366784910024-1.57079632675     		φ = 0.30287152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52994243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.363465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30287152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.353260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76591 KachelY 59119 0.52994243 0.30287152 30.363465 17.353260
    Oben rechts KachelX + 1 76592 KachelY 59119 0.52999036 0.30287152 30.366211 17.353260
    Unten links KachelX 76591 KachelY + 1 59120 0.52994243 0.30282577 30.363465 17.350639
    Unten rechts KachelX + 1 76592 KachelY + 1 59120 0.52999036 0.30282577 30.366211 17.350639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30287152-0.30282577) × R
    4.57500000000111e-05 × 6371000     		dl = 291.47325000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30287152-0.30282577) × R
    4.57500000000111e-05 × 6371000     		dr = 291.47325000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52994243-0.52999036) × cos(0.30287152) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.954483959436448 × 6371000     		do = 291.46315945613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52994243-0.52999036) × cos(0.30282577) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.954497603935591 × 6371000     		du = 291.467325968087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30287152)-sin(0.30282577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954483959436448-0.954497603935591)×R²
    abs(0.52999036-0.52994243)×1.36444991430951e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.36444991430951e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.36444991430951e-05×40589641000000     		ar = 84954.3215701819m²