Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76590 / 59505
↖ ↑ ↗
← N 16.338590°
E 30.360718°		 ← 293.09 m → N 16.338590°
E 30.363465°		 →
↑
293.07 m
↓
↑
293.07 m
↓
N 16.335954°
E 30.360718°		 ← 293.10 m →
85 896 m²		 N 16.335954°
E 30.363465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584339141845703 y=0.453990936279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584339141845703 × 217)
    floor (0.584339141845703 × 131072)
    floor (76590.5)     		tx = 76590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453990936279297 × 217)
    floor (0.453990936279297 × 131072)
    floor (59505.5)     		ty = 59505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76590 / 59505 ti = "17/76590/59505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76590/59505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76590 ÷ 217
    76590 ÷ 131072     		x = 0.584335327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59505 ÷ 217
    59505 ÷ 131072     		y = 0.453987121582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584335327148438 × 2 - 1) × π
    0.168670654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52989449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453987121582031 × 2 - 1) × π
    0.0920257568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.289107441608559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52989449} λ = 0.52989449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289107441608559))-π/2
    2×atan(1.33523518063762)-π/2
    2×0.927979258472915-π/2
    1.85595851694583-1.57079632675     		φ = 0.28516219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52989449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.360718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28516219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.338590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76590 KachelY 59505 0.52989449 0.28516219 30.360718 16.338590
    Oben rechts KachelX + 1 76591 KachelY 59505 0.52994243 0.28516219 30.363465 16.338590
    Unten links KachelX 76590 KachelY + 1 59506 0.52989449 0.28511619 30.360718 16.335954
    Unten rechts KachelX + 1 76591 KachelY + 1 59506 0.52994243 0.28511619 30.363465 16.335954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28516219-0.28511619) × R
    4.59999999999905e-05 × 6371000     		dl = 293.065999999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28516219-0.28511619) × R
    4.59999999999905e-05 × 6371000     		dr = 293.065999999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52989449-0.52994243) × cos(0.28516219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95961603910834 × 6371000     		do = 293.091438860341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52989449-0.52994243) × cos(0.28511619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959628978495437 × 6371000     		du = 293.095390882221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28516219)-sin(0.28511619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95961603910834-0.959628978495437)×R²
    abs(0.52994243-0.52989449)×1.29393870971217e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29393870971217e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29393870971217e-05×40589641000000     		ar = 85895.714737746m²