Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7659 / 1714
↖ ↑ ↗
← N 71.718882°
E156.577148°		 ← 1 532.79 m → N 71.718882°
E156.621094°		 →
↑
1 533.31 m
↓
↑
1 533.31 m
↓
N 71.705093°
E156.577148°		 ← 1 533.91 m →
2 351 101 m²		 N 71.705093°
E156.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93499755859375 y=0.20928955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93499755859375 × 213)
    floor (0.93499755859375 × 8192)
    floor (7659.5)     		tx = 7659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20928955078125 × 213)
    floor (0.20928955078125 × 8192)
    floor (1714.5)     		ty = 1714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7659 / 1714 ti = "13/7659/1714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7659/1714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7659 ÷ 213
    7659 ÷ 8192     		x = 0.9349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1714 ÷ 213
    1714 ÷ 8192     		y = 0.209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9349365234375 × 2 - 1) × π
    0.869873046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73278677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209228515625 × 2 - 1) × π
    0.58154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82697111831958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73278677} λ = 2.73278677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82697111831958))-π/2
    2×atan(6.21503351980356)-π/2
    2×1.41126347935693-π/2
    2.82252695871387-1.57079632675     		φ = 1.25173063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73278677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25173063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.718882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7659 KachelY 1714 2.73278677 1.25173063 156.577148 71.718882
    Oben rechts KachelX + 1 7660 KachelY 1714 2.73355376 1.25173063 156.621094 71.718882
    Unten links KachelX 7659 KachelY + 1 1715 2.73278677 1.25148996 156.577148 71.705093
    Unten rechts KachelX + 1 7660 KachelY + 1 1715 2.73355376 1.25148996 156.621094 71.705093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25173063-1.25148996) × R
    0.000240669999999943 × 6371000     		dl = 1533.30856999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25173063-1.25148996) × R
    0.000240669999999943 × 6371000     		dr = 1533.30856999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73278677-2.73355376) × cos(1.25173063) × R
    0.000766989999999801 × 0.313679549755533 × 6371000     		do = 1532.79301509024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73278677-2.73355376) × cos(1.25148996) × R
    0.000766989999999801 × 0.31390806379024 × 6371000     		du = 1533.9096473875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25173063)-sin(1.25148996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313679549755533-0.31390806379024)×R²
    abs(2.73355376-2.73278677)×0.00022851403470614×R²
    0.000766989999999801×0.00022851403470614×6371000²
    0.000766989999999801×0.00022851403470614×40589641000000     		ar = 2351100.74835943m²