Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76589 / 59509
↖ ↑ ↗
← N 16.328047°
E 30.357971°		 ← 293.11 m → N 16.328047°
E 30.360718°		 →
↑
293.07 m
↓
↑
293.07 m
↓
N 16.325411°
E 30.357971°		 ← 293.11 m →
85 900 m²		 N 16.325411°
E 30.360718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584331512451172 y=0.454021453857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584331512451172 × 217)
    floor (0.584331512451172 × 131072)
    floor (76589.5)     		tx = 76589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454021453857422 × 217)
    floor (0.454021453857422 × 131072)
    floor (59509.5)     		ty = 59509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76589 / 59509 ti = "17/76589/59509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76589/59509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76589 ÷ 217
    76589 ÷ 131072     		x = 0.584327697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59509 ÷ 217
    59509 ÷ 131072     		y = 0.454017639160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584327697753906 × 2 - 1) × π
    0.168655395507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.52984655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454017639160156 × 2 - 1) × π
    0.0919647216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.288915694010078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52984655} λ = 0.52984655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288915694010078))-π/2
    2×atan(1.33497917704315)-π/2
    2×0.927887253956567-π/2
    1.85577450791313-1.57079632675     		φ = 0.28497818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52984655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.357971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28497818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.328047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76589 KachelY 59509 0.52984655 0.28497818 30.357971 16.328047
    Oben rechts KachelX + 1 76590 KachelY 59509 0.52989449 0.28497818 30.360718 16.328047
    Unten links KachelX 76589 KachelY + 1 59510 0.52984655 0.28493218 30.357971 16.325411
    Unten rechts KachelX + 1 76590 KachelY + 1 59510 0.52989449 0.28493218 30.360718 16.325411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28497818-0.28493218) × R
    4.6000000000046e-05 × 6371000     		dl = 293.066000000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28497818-0.28493218) × R
    4.6000000000046e-05 × 6371000     		dr = 293.066000000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52984655-0.52989449) × cos(0.28497818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959667787284535 × 6371000     		do = 293.107244085349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52984655-0.52989449) × cos(0.28493218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959680718548726 × 6371000     		du = 293.111193626284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28497818)-sin(0.28493218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959667787284535-0.959680718548726)×R²
    abs(0.52989449-0.52984655)×1.29312641917734e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29312641917734e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29312641917734e-05×40589641000000     		ar = 85900.3463484119m²