Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76589 / 59507
↖ ↑ ↗
← N 16.333319°
E 30.357971°		 ← 293.10 m → N 16.333319°
E 30.360718°		 →
↑
293.13 m
↓
↑
293.13 m
↓
N 16.330683°
E 30.357971°		 ← 293.10 m →
85 917 m²		 N 16.330683°
E 30.360718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584331512451172 y=0.454006195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584331512451172 × 217)
    floor (0.584331512451172 × 131072)
    floor (76589.5)     		tx = 76589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454006195068359 × 217)
    floor (0.454006195068359 × 131072)
    floor (59507.5)     		ty = 59507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76589 / 59507 ti = "17/76589/59507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76589/59507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76589 ÷ 217
    76589 ÷ 131072     		x = 0.584327697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59507 ÷ 217
    59507 ÷ 131072     		y = 0.454002380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584327697753906 × 2 - 1) × π
    0.168655395507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.52984655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454002380371094 × 2 - 1) × π
    0.0919952392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.289011567809319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52984655} λ = 0.52984655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289011567809319))-π/2
    2×atan(1.33510717270437)-π/2
    2×0.927933256834899-π/2
    1.8558665136698-1.57079632675     		φ = 0.28507019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52984655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.357971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28507019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.333319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76589 KachelY 59507 0.52984655 0.28507019 30.357971 16.333319
    Oben rechts KachelX + 1 76590 KachelY 59507 0.52989449 0.28507019 30.360718 16.333319
    Unten links KachelX 76589 KachelY + 1 59508 0.52984655 0.28502418 30.357971 16.330683
    Unten rechts KachelX + 1 76590 KachelY + 1 59508 0.52989449 0.28502418 30.360718 16.330683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28507019-0.28502418) × R
    4.60099999999852e-05 × 6371000     		dl = 293.129709999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28507019-0.28502418) × R
    4.60099999999852e-05 × 6371000     		dr = 293.129709999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52984655-0.52989449) × cos(0.28507019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959641915851959 × 6371000     		do = 293.09934228391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52984655-0.52989449) × cos(0.28502418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959654853989686 × 6371000     		du = 293.103293924199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28507019)-sin(0.28502418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959641915851959-0.959654853989686)×R²
    abs(0.52989449-0.52984655)×1.29381377266258e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29381377266258e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29381377266258e-05×40589641000000     		ar = 85916.704391604m²