Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76583 / 59365
↖ ↑ ↗
← N 16.707232°
E 30.341492°		 ← 292.53 m → N 16.707232°
E 30.344238°		 →
↑
292.49 m
↓
↑
292.49 m
↓
N 16.704602°
E 30.341492°		 ← 292.54 m →
85 564 m²		 N 16.704602°
E 30.344238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584285736083984 y=0.452922821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584285736083984 × 217)
    floor (0.584285736083984 × 131072)
    floor (76583.5)     		tx = 76583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452922821044922 × 217)
    floor (0.452922821044922 × 131072)
    floor (59365.5)     		ty = 59365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76583 / 59365 ti = "17/76583/59365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76583/59365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76583 ÷ 217
    76583 ÷ 131072     		x = 0.584281921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59365 ÷ 217
    59365 ÷ 131072     		y = 0.452919006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584281921386719 × 2 - 1) × π
    0.168563842773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.52955893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452919006347656 × 2 - 1) × π
    0.0941619873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.295818607555367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52955893} λ = 0.52955893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295818607555367))-π/2
    2×atan(1.34422630222093)-π/2
    2×0.931196269771487-π/2
    1.86239253954297-1.57079632675     		φ = 0.29159621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52955893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.341492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29159621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.707232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76583 KachelY 59365 0.52955893 0.29159621 30.341492 16.707232
    Oben rechts KachelX + 1 76584 KachelY 59365 0.52960687 0.29159621 30.344238 16.707232
    Unten links KachelX 76583 KachelY + 1 59366 0.52955893 0.29155030 30.341492 16.704602
    Unten rechts KachelX + 1 76584 KachelY + 1 59366 0.52960687 0.29155030 30.344238 16.704602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29159621-0.29155030) × R
    4.59100000000379e-05 × 6371000     		dl = 292.492610000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29159621-0.29155030) × R
    4.59100000000379e-05 × 6371000     		dr = 292.492610000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52955893-0.52960687) × cos(0.29159621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957786215157296 × 6371000     		do = 292.532563526024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52955893-0.52960687) × cos(0.29155030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957799412419844 × 6371000     		du = 292.536594309704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29159621)-sin(0.29155030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957786215157296-0.957799412419844)×R²
    abs(0.52960687-0.52955893)×1.31972625480037e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31972625480037e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31972625480037e-05×40589641000000     		ar = 85564.2025180047m²