Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76582 / 59336
↖ ↑ ↗
← N 16.783505°
E 30.338745°		 ← 292.42 m → N 16.783505°
E 30.341492°		 →
↑
292.37 m
↓
↑
292.37 m
↓
N 16.780876°
E 30.338745°		 ← 292.42 m →
85 493 m²		 N 16.780876°
E 30.341492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584278106689453 y=0.452701568603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584278106689453 × 217)
    floor (0.584278106689453 × 131072)
    floor (76582.5)     		tx = 76582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452701568603516 × 217)
    floor (0.452701568603516 × 131072)
    floor (59336.5)     		ty = 59336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76582 / 59336 ti = "17/76582/59336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76582/59336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76582 ÷ 217
    76582 ÷ 131072     		x = 0.584274291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59336 ÷ 217
    59336 ÷ 131072     		y = 0.45269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584274291992188 × 2 - 1) × π
    0.168548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52951099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45269775390625 × 2 - 1) × π
    0.0946044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.297208777644348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52951099} λ = 0.52951099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.297208777644348))-π/2
    2×atan(1.34609630492885)-π/2
    2×0.931861879434592-π/2
    1.86372375886918-1.57079632675     		φ = 0.29292743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52951099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.338745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29292743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.783505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76582 KachelY 59336 0.52951099 0.29292743 30.338745 16.783505
    Oben rechts KachelX + 1 76583 KachelY 59336 0.52955893 0.29292743 30.341492 16.783505
    Unten links KachelX 76582 KachelY + 1 59337 0.52951099 0.29288154 30.338745 16.780876
    Unten rechts KachelX + 1 76583 KachelY + 1 59337 0.52955893 0.29288154 30.341492 16.780876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29292743-0.29288154) × R
    4.58899999999929e-05 × 6371000     		dl = 292.365189999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29292743-0.29288154) × R
    4.58899999999929e-05 × 6371000     		dr = 292.365189999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52951099-0.52955893) × cos(0.29292743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957402665587518 × 6371000     		do = 292.415417614849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52951099-0.52955893) × cos(0.29288154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957415915600873 × 6371000     		du = 292.419464509982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29292743)-sin(0.29288154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957402665587518-0.957415915600873)×R²
    abs(0.52955893-0.52951099)×1.32500133547264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32500133547264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32500133547264e-05×40589641000000     		ar = 85492.6807304637m²