Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76581 / 59330
↖ ↑ ↗
← N 16.799282°
E 30.335999°		 ← 292.33 m → N 16.799282°
E 30.338745°		 →
↑
292.37 m
↓
↑
292.37 m
↓
N 16.796653°
E 30.335999°		 ← 292.33 m →
85 468 m²		 N 16.796653°
E 30.338745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584270477294922 y=0.452655792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584270477294922 × 217)
    floor (0.584270477294922 × 131072)
    floor (76581.5)     		tx = 76581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452655792236328 × 217)
    floor (0.452655792236328 × 131072)
    floor (59330.5)     		ty = 59330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76581 / 59330 ti = "17/76581/59330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76581/59330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76581 ÷ 217
    76581 ÷ 131072     		x = 0.584266662597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59330 ÷ 217
    59330 ÷ 131072     		y = 0.452651977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584266662597656 × 2 - 1) × π
    0.168533325195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.52946306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452651977539062 × 2 - 1) × π
    0.094696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.297496399042068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52946306} λ = 0.52946306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.297496399042068))-π/2
    2×atan(1.34648352671351)-π/2
    2×0.931999558461825-π/2
    1.86399911692365-1.57079632675     		φ = 0.29320279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52946306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.335999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29320279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.799282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76581 KachelY 59330 0.52946306 0.29320279 30.335999 16.799282
    Oben rechts KachelX + 1 76582 KachelY 59330 0.52951099 0.29320279 30.338745 16.799282
    Unten links KachelX 76581 KachelY + 1 59331 0.52946306 0.29315690 30.335999 16.796653
    Unten rechts KachelX + 1 76582 KachelY + 1 59331 0.52951099 0.29315690 30.338745 16.796653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29320279-0.29315690) × R
    4.58899999999929e-05 × 6371000     		dl = 292.365189999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29320279-0.29315690) × R
    4.58899999999929e-05 × 6371000     		dr = 292.365189999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52946306-0.52951099) × cos(0.29320279) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957323117388049 × 6371000     		do = 292.330130491722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52946306-0.52951099) × cos(0.29315690) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957336379498984 × 6371000     		du = 292.334180236839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29320279)-sin(0.29315690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957323117388049-0.957336379498984)×R²
    abs(0.52951099-0.52946306)×1.32621109349973e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32621109349973e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32621109349973e-05×40589641000000     		ar = 85467.7461611847m²