Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76581 / 58343
↖ ↑ ↗
← N 19.375931°
E 30.335999°		 ← 288.07 m → N 19.375931°
E 30.338745°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
N 19.373341°
E 30.335999°		 ← 288.07 m →
82 992 m²		 N 19.373341°
E 30.338745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584270477294922 y=0.445125579833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584270477294922 × 217)
    floor (0.584270477294922 × 131072)
    floor (76581.5)     		tx = 76581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445125579833984 × 217)
    floor (0.445125579833984 × 131072)
    floor (58343.5)     		ty = 58343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76581 / 58343 ti = "17/76581/58343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76581/58343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76581 ÷ 217
    76581 ÷ 131072     		x = 0.584266662597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58343 ÷ 217
    58343 ÷ 131072     		y = 0.445121765136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584266662597656 × 2 - 1) × π
    0.168533325195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.52946306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445121765136719 × 2 - 1) × π
    0.109756469726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.344810118967064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52946306} λ = 0.52946306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344810118967064))-π/2
    2×atan(1.41172183501612)-π/2
    2×0.954485065779311-π/2
    1.90897013155862-1.57079632675     		φ = 0.33817380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52946306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.335999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33817380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.375931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76581 KachelY 58343 0.52946306 0.33817380 30.335999 19.375931
    Oben rechts KachelX + 1 76582 KachelY 58343 0.52951099 0.33817380 30.338745 19.375931
    Unten links KachelX 76581 KachelY + 1 58344 0.52946306 0.33812858 30.335999 19.373341
    Unten rechts KachelX + 1 76582 KachelY + 1 58344 0.52951099 0.33812858 30.338745 19.373341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33817380-0.33812858) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33817380-0.33812858) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52946306-0.52951099) × cos(0.33817380) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943362107271499 × 6371000     		do = 288.066968101679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52946306-0.52951099) × cos(0.33812858) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943377108714781 × 6371000     		du = 288.071548972852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33817380)-sin(0.33812858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943362107271499-0.943377108714781)×R²
    abs(0.52951099-0.52946306)×1.50014432815926e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50014432815926e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50014432815926e-05×40589641000000     		ar = 82991.7797246692m²