Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76580 / 59516
↖ ↑ ↗
← N 16.309595°
E 30.333252°		 ← 293.13 m → N 16.309595°
E 30.335999°		 →
↑
293.13 m
↓
↑
293.13 m
↓
N 16.306959°
E 30.333252°		 ← 293.14 m →
85 927 m²		 N 16.306959°
E 30.335999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584262847900391 y=0.454074859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584262847900391 × 217)
    floor (0.584262847900391 × 131072)
    floor (76580.5)     		tx = 76580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454074859619141 × 217)
    floor (0.454074859619141 × 131072)
    floor (59516.5)     		ty = 59516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76580 / 59516 ti = "17/76580/59516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76580/59516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76580 ÷ 217
    76580 ÷ 131072     		x = 0.584259033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59516 ÷ 217
    59516 ÷ 131072     		y = 0.454071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584259033203125 × 2 - 1) × π
    0.16851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52941512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454071044921875 × 2 - 1) × π
    0.09185791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.288580135712738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52941512} λ = 0.52941512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288580135712738))-π/2
    2×atan(1.33453128885402)-π/2
    2×0.927726234120045-π/2
    1.85545246824009-1.57079632675     		φ = 0.28465614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52941512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.333252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28465614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.309595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76580 KachelY 59516 0.52941512 0.28465614 30.333252 16.309595
    Oben rechts KachelX + 1 76581 KachelY 59516 0.52946306 0.28465614 30.335999 16.309595
    Unten links KachelX 76580 KachelY + 1 59517 0.52941512 0.28461013 30.333252 16.306959
    Unten rechts KachelX + 1 76581 KachelY + 1 59517 0.52946306 0.28461013 30.335999 16.306959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28465614-0.28461013) × R
    4.60099999999852e-05 × 6371000     		dl = 293.129709999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28465614-0.28461013) × R
    4.60099999999852e-05 × 6371000     		dr = 293.129709999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52941512-0.52946306) × cos(0.28465614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.959758274721646 × 6371000     		do = 293.13488127779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52941512-0.52946306) × cos(0.28461013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95977119457654 × 6371000     		du = 293.138827334031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28465614)-sin(0.28461013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959758274721646-0.95977119457654)×R²
    abs(0.52946306-0.52941512)×1.29198548936005e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29198548936005e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29198548936005e-05×40589641000000     		ar = 85927.1211080627m²