Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76580 / 58339
↖ ↑ ↗
← N 19.386296°
E 30.333252°		 ← 288.11 m → N 19.386296°
E 30.335999°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
N 19.383705°
E 30.333252°		 ← 288.11 m →
83 004 m²		 N 19.383705°
E 30.335999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584262847900391 y=0.445095062255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584262847900391 × 217)
    floor (0.584262847900391 × 131072)
    floor (76580.5)     		tx = 76580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445095062255859 × 217)
    floor (0.445095062255859 × 131072)
    floor (58339.5)     		ty = 58339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76580 / 58339 ti = "17/76580/58339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76580/58339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76580 ÷ 217
    76580 ÷ 131072     		x = 0.584259033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58339 ÷ 217
    58339 ÷ 131072     		y = 0.445091247558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584259033203125 × 2 - 1) × π
    0.16851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52941512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445091247558594 × 2 - 1) × π
    0.109817504882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.345001866565544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52941512} λ = 0.52941512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345001866565544))-π/2
    2×atan(1.41199255524185)-π/2
    2×0.954575506611217-π/2
    1.90915101322243-1.57079632675     		φ = 0.33835469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52941512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.333252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33835469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.386296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76580 KachelY 58339 0.52941512 0.33835469 30.333252 19.386296
    Oben rechts KachelX + 1 76581 KachelY 58339 0.52946306 0.33835469 30.335999 19.386296
    Unten links KachelX 76580 KachelY + 1 58340 0.52941512 0.33830947 30.333252 19.383705
    Unten rechts KachelX + 1 76581 KachelY + 1 58340 0.52946306 0.33830947 30.335999 19.383705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33835469-0.33830947) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33835469-0.33830947) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52941512-0.52946306) × cos(0.33835469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943302078889 × 6371000     		do = 288.108735488022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52941512-0.52946306) × cos(0.33830947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943317088048654 × 6371000     		du = 288.113319671716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33835469)-sin(0.33830947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943302078889-0.943317088048654)×R²
    abs(0.52946306-0.52941512)×1.50091596540225e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50091596540225e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50091596540225e-05×40589641000000     		ar = 83003.8132447548m²