Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7658 / 5098
↖ ↑ ↗
← N 56.047500°
W 11.733399°		 ← 1 364.58 m → N 56.047500°
W 11.711426°		 →
↑
1 364.80 m
↓
↑
1 364.80 m
↓
N 56.035226°
W 11.733399°		 ← 1 365.02 m →
1 862 675 m²		 N 56.035226°
W 11.711426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467437744140625 y=0.311187744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467437744140625 × 214)
    floor (0.467437744140625 × 16384)
    floor (7658.5)     		tx = 7658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311187744140625 × 214)
    floor (0.311187744140625 × 16384)
    floor (5098.5)     		ty = 5098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7658 / 5098 ti = "14/7658/5098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7658/5098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7658 ÷ 214
    7658 ÷ 16384     		x = 0.4674072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5098 ÷ 214
    5098 ÷ 16384     		y = 0.3111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.065185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20478644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3111572265625 × 2 - 1) × π
    0.377685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18653413939563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20478644} λ = -0.20478644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18653413939563))-π/2
    2×atan(3.27570836185612)-π/2
    2×1.27450486600734-π/2
    2.54900973201467-1.57079632675     		φ = 0.97821341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20478644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.733399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97821341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.047500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7658 KachelY 5098 -0.20478644 0.97821341 -11.733399 56.047500
    Oben rechts KachelX + 1 7659 KachelY 5098 -0.20440294 0.97821341 -11.711426 56.047500
    Unten links KachelX 7658 KachelY + 1 5099 -0.20478644 0.97799919 -11.733399 56.035226
    Unten rechts KachelX + 1 7659 KachelY + 1 5099 -0.20440294 0.97799919 -11.711426 56.035226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97821341-0.97799919) × R
    0.000214219999999932 × 6371000     		dl = 1364.79561999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97821341-0.97799919) × R
    0.000214219999999932 × 6371000     		dr = 1364.79561999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20478644--0.20440294) × cos(0.97821341) × R
    0.000383499999999981 × 0.558505415293066 × 6371000     		do = 1364.58427331905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20478644--0.20440294) × cos(0.97799919) × R
    0.000383499999999981 × 0.558683098154115 × 6371000     		du = 1365.01840203327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97821341)-sin(0.97799919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558505415293066-0.558683098154115)×R²
    abs(-0.20440294--0.20478644)×0.000177682861049022×R²
    0.000383499999999981×0.000177682861049022×6371000²
    0.000383499999999981×0.000177682861049022×40589641000000     		ar = 1862674.89495453m²