Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7658 / 1750
↖ ↑ ↗
← N 71.216075°
E156.533203°		 ← 1 573.45 m → N 71.216075°
E156.577148°		 →
↑
1 574.02 m
↓
↑
1 574.02 m
↓
N 71.201920°
E156.533203°		 ← 1 574.59 m →
2 477 542 m²		 N 71.201920°
E156.577148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93487548828125 y=0.21368408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93487548828125 × 213)
    floor (0.93487548828125 × 8192)
    floor (7658.5)     		tx = 7658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21368408203125 × 213)
    floor (0.21368408203125 × 8192)
    floor (1750.5)     		ty = 1750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7658 / 1750 ti = "13/7658/1750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7658/1750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7658 ÷ 213
    7658 ÷ 8192     		x = 0.934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1750 ÷ 213
    1750 ÷ 8192     		y = 0.213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.934814453125 × 2 - 1) × π
    0.86962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73201978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213623046875 × 2 - 1) × π
    0.57275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79935946413843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73201978} λ = 2.73201978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79935946413843))-π/2
    2×atan(6.04577368904059)-π/2
    2×1.40687566025873-π/2
    2.81375132051746-1.57079632675     		φ = 1.24295499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73201978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.533203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24295499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.216075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7658 KachelY 1750 2.73201978 1.24295499 156.533203 71.216075
    Oben rechts KachelX + 1 7659 KachelY 1750 2.73278677 1.24295499 156.577148 71.216075
    Unten links KachelX 7658 KachelY + 1 1751 2.73201978 1.24270793 156.533203 71.201920
    Unten rechts KachelX + 1 7659 KachelY + 1 1751 2.73278677 1.24270793 156.577148 71.201920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24295499-1.24270793) × R
    0.000247060000000188 × 6371000     		dl = 1574.0192600012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24295499-1.24270793) × R
    0.000247060000000188 × 6371000     		dr = 1574.0192600012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73201978-2.73278677) × cos(1.24295499) × R
    0.000766990000000245 × 0.322000088191557 × 6371000     		do = 1573.45127032795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73201978-2.73278677) × cos(1.24270793) × R
    0.000766990000000245 × 0.322233979857054 × 6371000     		du = 1574.59418038199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24295499)-sin(1.24270793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322000088191557-0.322233979857054)×R²
    abs(2.73278677-2.73201978)×0.000233891665496977×R²
    0.000766990000000245×0.000233891665496977×6371000²
    0.000766990000000245×0.000233891665496977×40589641000000     		ar = 2477542.09798856m²